Question

12．如圖，已知矩形ABCD，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，在BC上取兩點(diǎn)E，F(xiàn)（E在F左邊），以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點(diǎn)P在AD上，PE，PF分別交AC于點(diǎn)G，H．
（1）求△PEF的邊長；
（2）若△PEF的邊EF在射線BC上移動(dòng)（點(diǎn)E的移動(dòng)范圍在B、C之間，不與B、C兩點(diǎn)重合）．設(shè)BE=x，PH=y．
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
②連接BG，設(shè)△BEG面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，判斷x為何值時(shí)S最大，并求最大值S．

Answer 1

分析 （1）過P作PQ⊥BC于Q，根據(jù)PQ=AB=$\sqrt{3}$，△PEF是等邊三角形求出PF的長，得到答案；
（2）①求出∠ACB=30°，得到FH=FC，根據(jù)HF=2-y和BE+EF+FC=3，得到答案；
②過點(diǎn)G作GM⊥BC于點(diǎn)M，求出∠EGC=90°，用x表示EM，根據(jù)面積公式表示出△BEG的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值S．

解答 解：（1）如圖1，過P作PQ⊥BC于Q，
∵矩形ANBD，
∴∠B=90°，即AB⊥BC，又AD∥BC，
∴PQ=AB=$\sqrt{3}$，
∵△PEF是等邊三角形，
∴∠PFQ=60°，
在Rt△PQF中，
sin∠PFQ=$\frac{PQ}{PF}$，
∴PF=$\sqrt{3}$÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2，
∴△PEF的邊長為2．
（2）①在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，
由勾股定理，AC=2$\sqrt{3}$，
∴∠ACB=30°，
又∵△PEF是等邊三角形，
∴∠PFE=60°，
∴∠FHC=30°，
∴FH=FC，
∵HF=2-PH=2-y，
∴x+2+2-y=3，
即y=x+1．
②如圖2，過點(diǎn)G作GM⊥BC于點(diǎn)M，
∵△PEF為等邊三角形，
∴∠PEF=60°，
∵Rt△ABC中，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，
∴∠ACB=30°
∴∠EGC=180°-30°-60°=90°
∵BE=x
∴EC=3-x
∴EG=$\frac{3-x}{2}$，
∵∠GEM=60°，sin∠GEM=$\frac{GM}{GE}$，
∴GM=sin60°•EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3-x}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$x×$\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}x}{4}$=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{8}$x，
∵-$\frac{\sqrt{3}}{8}$＜0，
∴當(dāng)x=-$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{8}}{2×（-\frac{\sqrt{3}}{8}）}$=$\frac{3}{2}$時(shí)，S_最大=$\frac{9\sqrt{3}}{32}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的概念、二次函數(shù)的性質(zhì)，題目綜合性較強(qiáng)，需要學(xué)生正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)的概念進(jìn)行解答．