Question

11．如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么稱(chēng)這個(gè)三角形為“勻稱(chēng)三角形”．
（1）已知：如圖1，在△ABC中，∠C=90°，BC=2$\sqrt{3}$，AB=2$\sqrt{7}$，求證：△ABC是“勻稱(chēng)三角形”；

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果三角形的一邊在x軸上，且這邊的中線恰好等于這邊的長(zhǎng)，我們又稱(chēng)這個(gè)三角形為“水平勻稱(chēng)三角形”．如圖2，現(xiàn)有10個(gè)邊長(zhǎng)是1的小正方形組成的長(zhǎng)方形區(qū)域記為G，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，A（3，0），B（4，0），若C、D（C、D兩點(diǎn)與O不重合）是x軸上的格點(diǎn)，且點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)．在G內(nèi)使△PAC與△PBD都是“水平勻稱(chēng)三角形”的點(diǎn)P共有幾個(gè)？其中是否存在橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P，如果存在請(qǐng)求出這個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）作AC邊的中線BD交AC于點(diǎn)D，運(yùn)用勾股定理求出BD，AC=BD得出△ABC是“勻稱(chēng)三角形”．
（2）①在G內(nèi)使△PAC與△PBD都是“水平勻稱(chēng)三角形”的點(diǎn)P共有4個(gè)．利用圖形表示出各點(diǎn)．
②在G內(nèi)使△PAC與△PBD都是“水平勻稱(chēng)三角形”的點(diǎn)P中，存在橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P．第四種情況，運(yùn)用△PAC與△PBD都是“水平勻稱(chēng)三角形”得出P點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)3．

解答 解：（1）如圖1，作AC邊的中線BD交AC于點(diǎn)D，
∵∠C=90°，BC=2$\sqrt{3}$，AB=2$\sqrt{7}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4．
∴AD=CD=2．
BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=4，
∴AC=BD，
∴△ABC是“勻稱(chēng)三角形”；
（2）①在G內(nèi)使△PAC與△PBD都是“水平勻稱(chēng)三角形”的點(diǎn)P共有4個(gè)．
如圖：
第一種如圖2，點(diǎn)C（1，0），點(diǎn)D（3，0）與A重合，用圓的交點(diǎn)找點(diǎn)P，

第二種如圖3，點(diǎn)C（1，0），點(diǎn)D（2，0）

第三種如圖4，點(diǎn)C（1，0），點(diǎn)D（5，0）

第四種如圖5，當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）與A重合時(shí)，

②在G內(nèi)使△PAC與△PBD都是“水平勻稱(chēng)三角形”的點(diǎn)P中，存在橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P．
第四種情況，如圖5，當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）與A重合時(shí)，△PAC與△PBD是水平勻稱(chēng)三角形．

∵A（3，0），C（2，0），
B（4，0），D（3，0）
∴AC=1，BD=1
設(shè)PM、PN分別為CA、DB上的中線，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，
AN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$，
∴AM=AN=$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)A為MN的中點(diǎn)．
∵△PAC與△PBD是“水平勻稱(chēng)三角形”，
∴PM=AC=1，PN=BD=1，
∴PM=PN=1，
∴PA⊥MN，即PA與x軸垂直，
∵A（3，0）
∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)3．
在Rt△PMA中，PM=1，AM=$\frac{1}{2}$，
∴PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴P（3，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
所以，當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）與A重合時(shí)，△PAC與△PBD是水平勻稱(chēng)三角形且P點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了幾何變換綜合題，題目給出了新的定義即“勻稱(chēng)三角形”和“水平勻稱(chēng)三角形”，解題的關(guān)鍵是理解定義并能正確運(yùn)用定義解題．