Question

14．如圖1，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△PBC得面積最大，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，直線l經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)Q時(shí)位于y軸左側(cè)的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)Q的直線m，與y軸相交于點(diǎn)M，與直線l相交于點(diǎn)N，是否存在直線m，使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線m的解析式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、c的方程組，然后求得b、c的值即可；
（2）連結(jié)BC，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交BC與點(diǎn)M，交x軸與點(diǎn)H，先求得BC的解析式為y=-x+3，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3）則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，-x+3），然后由S_△PBC=$\frac{1}{2}$PM•（OH+HB）列出△PBC的面積與x的函數(shù)關(guān)系式可求得當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，三角形的面積有最大值，從而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2所示：直線m₁交y軸于點(diǎn)M₁，交直線l于點(diǎn)N₁，先證明△ACO≌△M₁BO，從而得到OM₁=OA=1，于是可得到點(diǎn)M₁（0，1），然后求得直線BM₁的解析式即可，直線m₂交y軸與點(diǎn)M₂，交直線l于點(diǎn)N₂時(shí)，同理可求得點(diǎn)M₂的坐標(biāo)為（0，-1）．，然后再求得直線BM₂的解析式即可．

解答 解：（1）把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
（2）存在．
如圖1所示：連結(jié)BC，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交BC與點(diǎn)M，交x軸與點(diǎn)H．

設(shè)BC的解析式為y=kx+b，將B（3，0），C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：k=-1，b=3，
∴直線BC的解析式為y=-x+3．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3）則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，-x+3）．
∴PM=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x．
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$PM•（OH+HB）=$\frac{1}{2}$PM•OB=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
（3）存在．
如圖2所示：

直線m₁交y軸于點(diǎn)M₁，交直線l于點(diǎn)N₁．
當(dāng)△AN₁B和△M₁N₁C相似時(shí)，則∠AN₁B=∠M₁N₁C．
∵∠AN₁B+∠M₁N₁C=180°，
∴∠AN₁B=∠M₁N₁C=90°．
∴∠ACO=∠M₁BO．
在△AOC和△M₁BO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC=∠{M}_{1}OB}\\{OC=OB}\\{∠ACO=∠{M}_{1}BO}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△M₁BO．
∴OM₁=OA．
∵A（-1，0），
∴OM₁=OA=1．
∴點(diǎn)M₁（0，1）．
由M₁（0，1），B（3，0），
∴直線m1的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+1．
直線m₂交y軸與點(diǎn)M₂，交直線l于點(diǎn)N₂時(shí)．
∵△AN₂B和△M₂N₂C相似時(shí)，必有∠AN₂B=∠M₂N₂C．
同理：可得到△ACO≌△M₂BO．
∴OM₂=OA．
∴點(diǎn)M₂的坐標(biāo)為（0，-1）．
∴直線BM₂的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-1．
綜上所述，滿足條件的直線m的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+1或y=$\frac{1}{3}$x-1．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，證得△ACO≌△M₁BO、△ACO≌△M₂BO是解題的關(guān)鍵．