Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在X軸正半軸上，B在Y軸的負(fù)半軸，過(guò)點(diǎn)B畫(huà)MN∥x軸；C是Y軸上一點(diǎn)，連接AC，作CD⊥CA．
（1）如圖（1），請(qǐng)直接寫(xiě)出∠CA0與∠CDB的數(shù)量關(guān)系．
（2）如圖（2），在題（1）的條件下，∠CAO的角平分線(xiàn)與∠CDB的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P，求∠APD的度數(shù)．
（3）如圖（2），在題（1）、（2）的條件下，∠CAX的角平分線(xiàn)與∠CDN的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)Q，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠APD與∠AQD數(shù)量關(guān)系．
（4）如圖（3），點(diǎn)C在Y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CAO的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)與∠CDB的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P，∠APD的大小是否變化？若不變，直接寫(xiě)出其值；若變化，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)CD⊥CA、∠AOC=90°知∠DCB=∠OAC，由∠CBD=90°可得∠DCB+∠CDB=90°，即∠CAO+∠CDB=90°；
（2）延長(zhǎng)AP交MN于點(diǎn)E，結(jié)合（1）中結(jié)論，利用角平分線(xiàn)可得∠1+∠2=45°，再由平行線(xiàn)的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可得；
（3）由AP平分∠OAC、AQ平分∠CAx且∠OAC+∠CAx=180°可得∠PAQ=90°，同理知∠PDQ=90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得結(jié)論；
（4）設(shè)∠CAQ=2α、∠CQA=2β，由∠ACD=90°得2α+2β=90°即α+β=45°，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)及平行線(xiàn)性質(zhì)可得∠QDP=β，$∠CAQ=\frac{1}{2}$∠CAQ=α，由∠CQA=90°-α利用外角性質(zhì)可得答案．

解答 解：（1）如圖，∵CD⊥CA，
∴∠ACO+∠DCB=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠DCB=∠OAC，
又∵∠CBD=90°，
∴∠DCB+∠CDB=90°，
∴∠CAO+∠CDB=90°；

（2）如圖2，延長(zhǎng)AP交MN于點(diǎn)E，

∵AP平分∠CAO、DP平分∠CDB，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠CAO、∠2=$\frac{1}{2}$∠CDB，
∵∠CAO+∠CDB=90°，
∴∠1+∠2=45°，
∵M(jìn)N∥OA，
∴∠1=∠3，
∴∠APD=∠2+∠3=∠1+∠3=45°；

（3）∵AP平分∠OAC、AQ平分∠CAx，
∴∠PAC=$\frac{1}{2}$∠OAC、∠QAC=$\frac{1}{2}$∠CAx，
∵∠OAC+∠CAx=180°，
∴∠PAQ=∠PAC+∠CAQ=$\frac{1}{2}$（∠OAC+∠CAx）=90°，
同理得∠PDQ=90°，
∴∠APD+∠AQD=360°-（∠PAQ+∠PDQ）=180°；

（4）∠APD的大小不變，為45°；

設(shè)∠CAQ=2α，∠CQA=2β，
∵∠ACD=90°，
∴∠CAQ+∠CQA=90°，即2α+2β=90，α+β=45，
∵AO∥MN，
∴∠CQA=∠CDB=2β，
∵AQ平分∠CAQ、DB平分∠CDB，
∴∠QDP=$\frac{1}{2}$∠CDB=β，$∠CAQ=\frac{1}{2}$∠CAQ=α，
則∠CQA=90°-∠CAQ=90°-α，
∴∠APD=∠CQA-∠CDB=90°-α-β=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．