Question

3．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為（-1，0），對稱軸為直線x=1，點P為線段BC上（不含B、C兩點）的一個動點，PF∥y軸交拋物線于點F，設(shè)點P的橫坐標為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）用含m的代數(shù)式表示線段PF的長；
（3）設(shè)△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并確定當m為何值時△BCF的面積最大．

Answer 1

分析 （1）由點A的坐標為（-1，0），對稱軸為直線x=1，直接利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）首先求得點A，B，C的坐標，即可求得直線BC的解析式，則可得PF=（-m²+2m+3）-（-m+3）=-m²+3m；
（3）首先連接BF，延長FP交x軸于點H，則可得S_△BCF=S_△PCF+S_△PBF=$\frac{1}{2}$PF•OH+$\frac{1}{2}$PF•BH=$\frac{1}{2}$PF•（OH+BH）=$\frac{1}{2}$PF•OB=$\frac{3}{2}$（-m²+3m），繼而求得答案．

解答 解：（1）∵點A的坐標為（-1，0），對稱軸為直線x=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{-\frac{2a}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）∵當x=0時，y=3，
∴點C（0，3），
當y=0時，-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴點A（-1，0），點B（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為：y=mx+n，
則$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=-x+3，
∴PF=（-m²+2m+3）-（-m+3）=-m²+3m；

（3）連接BF，延長FP交x軸于點H，
S_△BCF=S_△PCF+S_△PBF=$\frac{1}{2}$PF•OH+$\frac{1}{2}$PF•BH=$\frac{1}{2}$PF•（OH+BH）=$\frac{1}{2}$PF•OB=$\frac{3}{2}$（-m²+3m）=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
則當m=$\frac{3}{2}$時，△BCF的面積最大．

點評 此題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的最值問題．注意掌握PF的表示方法是解此題的關(guān)鍵．