Question

12．已知：在⊙O中，CD⊥AB于E．
（1）若AE=2，BE=6，OE=$\sqrt{5}$，求⊙O的半徑及弦CD的長．
（2）若⊙O的半徑為5，OE=$\sqrt{5}$，求CD²+AB²．
（3）若⊙O的半徑為5，求AD²+BC²．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F，OG⊥CD于點(diǎn)G，連接OA，OD，先根據(jù)垂徑定理求出AF的長，再由勾股定理求出OF的長，進(jìn)而可得出OA的長，由矩形的性質(zhì)得出OG=EF，再根據(jù)勾股定理求出DG的長，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）連接AO，DO，作OM⊥CD于點(diǎn)M，作ON⊥AB于點(diǎn)N”構(gòu)造矩形ENOM，然后利用勾股定理和垂徑定理推知，OM²=DO²-DM²=25-（$\frac{DC}{2}$）²，、ON²=OA²-AN²=25-（$\frac{AB}{2}$）²，再把兩式相加即可得出結(jié)論；
（3）連接CO并延長CO交⊙O于點(diǎn)F，連接BF，DF，由圓周角定理可知∠CBF=∠CDF=90°，故CF²=BC²+BF²，再由AB⊥CD可知∠BED=90°，故AB∥DF，由此可得出AD=BF，由此可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F，OG⊥CD于點(diǎn)G，連接OA，OD，
∵AE=2，BE=6，
∴AB=2+6=8，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴EF=AF-AE=4-2=2．
∵OE=$\sqrt{5}$，
∵OF=$\sqrt{{OE}^{2}-{EF}^{2}}$=$\sqrt{{（\sqrt{5}）}^{2}-{2}^{2}}$=1，
在Rt△AOF中，
∵OA²=AF²+OF²，即OA²=4²+1²，
∴OA=$\sqrt{17}$．
∵OE⊥CD，AB⊥CD，OF⊥AB，
∴四邊形OGEF是矩形，
∴OG=EF=2．
在Rt△ODG中，DG=$\sqrt{{OD}^{2}-{OG}^{2}}$=$\sqrt{{（\sqrt{17}）}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴CD=2DG=2$\sqrt{13}$．

（2）如圖2，連接AO，DO，作OM⊥CD于點(diǎn)M，作ON⊥AB于點(diǎn)N，
∵DC⊥AB，OM⊥DC，ON⊥AB，
∴四邊形OMEN為矩形；
∵OM²+ME²=OE²（勾股定理），
又∵M(jìn)E²=ON²，
∴OM²+ON²=OE²；
∵OM²=DO²-DM²=25-（$\frac{DC}{2}$）²，
又∵ON²=OA²-AN²=25-（$\frac{AB}{2}$）²，
∴OM²+ON²=25-（$\frac{AB}{2}$）²+25-（$\frac{DC}{2}$）²=5，
∴AB²+CD²=180；

（3）如圖3，連接CO并延長CO交⊙O于點(diǎn)F，連接BF，DF，
∵CF是⊙O的直徑，
∴∠CBF=∠CDF=90°，
∴CF²=BC²+BF²．
∵AB⊥CD，
∴∠BED=90°，
∴AB∥DF，
∴AD=BF，
∴CF²=BC²+AD²=100．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．