Question

20．如圖，⊙0是△ABC的外接圓，AB=AC，求證：AB²=AE•AD．

Answer 1

分析 連結(jié)CD，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠B=∠ACB，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠B+∠ADC=180°，由鄰補角的定義得∠ACB+∠ACE=180°，則∠ADC=∠ACE，于是可判斷△ACD∽△AEC，利用相似比可得AC²=AE•AD，然后利用等線段代換即可得到結(jié)論．

解答 證明：連結(jié)CD，如圖，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠ADC=∠ACE，
而∠DAC=∠CAE，
∴△ACD∽△AEC，
∴$\frac{AC}{AE}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴AC²=AE•AD，
∴AB²=AE•AD．

點評 本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；利用三角形相似的性質(zhì)計算有關(guān)線段的長．也考查了三角形的外接圓與外心．