Question

4．如圖，直線l：$y=\frac{4}{3}x+4$交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)A，⊙P過A、O兩點(diǎn)．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時，⊙P交AB于點(diǎn)C，求弦AC的長；
（2）如圖②，當(dāng)⊙P與直線l相切于點(diǎn)A時，求圓心點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在△AOB的外角∠OAE的平分線上時，求⊙P的半徑長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，先求出A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求出AB，然后由射影定理即可求出AC；
（2）作PD⊥x軸于D，先由切線求出∠BAC=90°，再由射影定理求出OC，得出DO、PD的長，即可得出結(jié)果；
（3）連接CF，由圓周角定理求出∠AFC=90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出CF=OC，再證明△BCF∽△BAO，求出CF得出OC，最后根據(jù)勾股定理求出AC，即可得出⊙P的半徑長．

解答 解：（1）連接OC，如圖1所示：
對于直線$y=\frac{4}{3}x+4$，
當(dāng)y=0時，$\frac{4}{3}$x+4=0，解得：x=-3，
∴OB=3，B（-3，0）；
當(dāng)x=0時，y=4，
∴OA=4，A（0，4），
∵∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵OA是⊙P的直徑，
∴∠ACO=90°，
根據(jù)射影定理得：OA²=AC•AB，
∴AC=$\frac{O{A}^{2}}{AB}$=$\frac{{4}^{2}}{5}$=$\frac{16}{5}$；

（2）作PD⊥x軸于D，如圖2所示：
則PD∥OA，
∵⊙P與直線l相切于點(diǎn)A，
∴AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∵OA⊥BC，
根據(jù)射影定理得：OA²=OB•OC，
∴OC=$\frac{O{A}^{2}}{OB}$=$\frac{{4}^{2}}{3}$=$\frac{16}{3}$，
∵P為AC的中點(diǎn)，
∴D為OC的中點(diǎn)，
∴DO=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{8}{3}$，PD=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴圓心點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{8}{3}$，2）；

（3）連接CF，如圖3所示：
∵AC是直徑，
∴∠AFC=90°，
∴∠AFC=∠AOB=90°，
∵AC平分∠OAE，
∴CF=OC，
又∵∠CBF=∠ABO，
∴△BCF∽△BAO，
∴$\frac{CF}{OA}=\frac{BC}{AB}$，即$\frac{CF}{4}=\frac{CF+3}{5}$，
解得：CF=12，
∴OC=12，
在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得：
AC=$\sqrt{{4}^{2}+1{2}^{2}}$=4$\sqrt{10}$，
∴PA=2$\sqrt{10}$；
即⊙P的半徑長為2$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題是圓的綜合題，考查了勾股定理、圓周角定理、射影定理、角的平分線性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)；本題難度較大，綜合強(qiáng)，特別是（3）中，根據(jù)三角形相似得出比例式求出CF，再根據(jù)勾股定理才能求出答案．