Question

18．今年夏天我市出現(xiàn)厄爾尼諾現(xiàn)象極端天氣，多地引發(fā)滑坡、山洪等嚴(yán)重自然災(zāi)害．如圖所示，ON為水平線，斜坡MN的坡比為1：$\sqrt{3}$，斜坡上一棵大樹樹干AB（樹干AB垂直于底面ON）被大風(fēng)刮傾斜15°后折斷倒在山坡上，樹的頂部恰好接觸到坡面，經(jīng)測(cè)量，大樹被折斷部分與坡面所成的角∠ADC=30°，AD=8米，∠BAC=15°．
（1）求這棵大樹原來的高度；（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}≈1.414，\sqrt{3}$≈1.732．結(jié)果精確到0.1米）
（2）某高速路段由于滑坡，需要在一定時(shí)間內(nèi)進(jìn)行搶修，若甲隊(duì)單獨(dú)做正好按時(shí)完成，而乙隊(duì)由于人少，單獨(dú)做則超期3個(gè)小時(shí)才能完成．現(xiàn)甲乙兩隊(duì)合作2小時(shí)后，甲隊(duì)又有新任務(wù)，余下的由乙隊(duì)單獨(dú)做，正好按期完成．求乙隊(duì)單獨(dú)完成全部工程需多少小時(shí)？

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)A作AH⊥CD，垂足為H，解Rt△ADH中，求得AH，DH，在RT△ACH中，求得CH=AH=4米，然后根據(jù)AB=AC+CD即可求解；
（2）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成需要x小時(shí)，則甲隊(duì)單獨(dú)完成需要（x-3）小時(shí)，根據(jù)甲乙兩隊(duì)合作2小時(shí)后，甲隊(duì)又有新任務(wù)，余下的由乙隊(duì)單獨(dú)做，正好按期完成建立方程，求解即可．

解答 解：（1）過點(diǎn)A作AH⊥CD，垂足為H，
∵在Rt△ADH中，∠ADH=30°，AD=8米，
∴AH=$\frac{1}{2}$AD=4米，DH=$\sqrt{3}$AH=4$\sqrt{3}$米．
∵斜坡MN的坡比為1：$\sqrt{3}$，
∴tan∠MNO=1：$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠MNO=30°，
∴∠M=60°=∠BAM，
∵∠BAC=15°，
∴∠CAD=180°-∠BAM-∠BAC=180°-60°-15°=105°，
∴∠C=180°-∠CAD-∠ADC=180°-105°-30°=45°．
∵在Rt△ACH中，∠C=45°，
∴CH=AH=4米，AC=$\sqrt{2}$AH=4$\sqrt{2}$米．
∴AB=AC+CD=4$\sqrt{2}$+4+4$\sqrt{3}$≈16.6（米）．
答：這棵大樹原來的高度約16.6米；

（2）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成需要x小時(shí)，則甲隊(duì)單獨(dú)完成需要（x-3）小時(shí)，
根據(jù)題意得（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x-3}$）×2+$\frac{1}{x}$×（x-3-2）=1，
解得x=9．
經(jīng)檢驗(yàn)，x=9是原方程的解，也符合題意．
答：乙隊(duì)單獨(dú)完成全部工程需9小時(shí)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，本題是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問題，可通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到這個(gè)直角三角形中，使問題解決．也考查了分式方程的應(yīng)用．