Question

1．正方形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，AB=12，DE=5，AE的垂直平分線分別交AD，BC于M，N，垂足為P，則MP：PN=5：19．

Answer 1

分析 由勾股定理求AE的長(zhǎng)，過M點(diǎn)作MG⊥BC，垂足為G，利用互余關(guān)系證明∠DAE=∠GMN，可證△DAE≌△GMN，從而有MN=AE，從而求得MN的長(zhǎng)．然后根據(jù)三角形相似求得PM的長(zhǎng)，求出MP：MN，即可求得MP：PN的值．

解答 解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，點(diǎn)E在BC上，DE=5，
∴AE=$\sqrt{{AD}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
過M點(diǎn)作MG⊥BC，垂足為G，如圖所示：
∴四邊形MDCG是矩形，
∴MG=DC，
∴MG=AD，
∵∠DAE+∠AMN=90°，∠GMN+∠AMN=90°，
∴∠DAE=∠GMN，
在△DAE與△GMN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠GMN}&{\;}\\{AD=MG}&{\;}\\{∠D=∠M∠GN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴DAEP≌△GMN（ASA），
∴MN=AE=13，
∵AE=13，
∴AP=$\frac{13}{2}$，
∵∠D=∠APM=90°，
∴∠AMN=∠AED，
∴△AMP∽△AED，
∴$\frac{MP}{DE}=\frac{AP}{AD}$，
即$\frac{MP}{5}=\frac{\frac{13}{2}}{12}$，
解得：MP=$\frac{65}{24}$，
∴$\frac{MP}{MN}=\frac{5}{24}$，
∴MP：PN=5：19；
故答案為：5：19．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用以及三角形相似的判定和性質(zhì)；作輔助線，構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．