Question

18．如圖1，已知AO是等腰Rt△ABC的角平分線，∠BAC=90°，AB=AC=6．
（1）將圖1中的△AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到△A₁OC₁，如圖2，連接AA₁，BC₁．
①求證：AA₁∥BC₁；
②求證：S${\;}_{△AO{A}_{1}}$=S_△BOC；
③直接寫出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α為90°時(shí)，四邊形AA₁C₁B的面積最大，其最大值為36．
（2）將圖1中的△ABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到△MBN，如圖3，點(diǎn)P為MC的中點(diǎn)，連接PA、PN，求證：PA=PN．

Answer 1

分析 （1）①過點(diǎn)O作MN⊥BC₁于M，交AA₁于N，只要證明ON⊥AA₁即可解決問題；
②證△A₁ON≌△OC₁M，推出△A₁ON和△OC₁M的面積相等，同理可證△AON和△OBM的面積相等，即可得出答案；
③如圖2中，作A₁K⊥OA于K．因?yàn)?{S}_{△AO{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•OA•A₁K，A₁K≤OA₁，所以當(dāng)A₁K=OA₁時(shí)，即OA⊥OA₁時(shí)，△AOA₁的面積最大，此時(shí)△AOA₁的面積=△AOB的面積，遠(yuǎn)程控制旋轉(zhuǎn)角為90°，四邊形AA₁C₁B的面積最大值為36．
（2）延長(zhǎng)NP至E，使PE=NP，連接CE，AN，AE，證△PCE≌△PMN，推出CE=NM=BN，∠MNP=∠PEC，推出CE∥MN，C，設(shè)EC的延長(zhǎng)線交BN的延長(zhǎng)線于O，得出A、B、O、C四點(diǎn)共圓，推出∠ACE=∠ABN，證△ABN≌△ACE，推出AN=AE，∠ABN=∠EAC，求出∠EAN=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半推出即可．

解答 （1）①證明：如圖2中，過點(diǎn)O作MN⊥BC₁于M，交AA₁于N，

∵OB=OC₁，
∴BM=C₁M，∠BOM=∠C₁OM，
∵∠AOB=∠A₁OC₁=90°，
∴∠AON+∠BOM=∠A₁ON+∠C₁OM=90°，
∴∠AON=∠A₁ON，
∵AO=A₁O，
∴ON⊥AA₁，∵M(jìn)N⊥BC₁，
∴AA₁∥BC₁．

②證明：由①可知A₁NO=90°=∠OMC₁，
在△OMC₁和△A₁ON中
，$\left\{\begin{array}{l}{∠{A}_{1}NO=∠{C}_{1}MO}\\{∠N{A}_{1}O=∠{C}_{1}OM}\\{{A}_{1}O=O{C}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△A₁ON≌△OC₁M（AAS），
∴△A₁ON和△OC₁M的面積相等，
同理可證△AON和△OBM的面積相等，
∴S_△AOA1=S_△BOC1．

③解：如圖2中，作A₁K⊥OA于K．
∵${S}_{△AO{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•OA•A₁K，
∴A₁K≤OA₁，
∴當(dāng)A₁K=OA₁時(shí)，即OA⊥OA₁時(shí)，△AOA₁的面積最大，
此時(shí)△AOA₁的面積=△AOB的面積，
∴旋轉(zhuǎn)角為90°，四邊形AA₁C₁B的面積最大值為36．
故答案為90°，36．

（2）證明：延長(zhǎng)NP至E，使PE=NP，連接CE，AN，AE，設(shè)EC的延長(zhǎng)線交BN的延長(zhǎng)線于O．


∵點(diǎn)P為MC的中點(diǎn)，
∴MP=CP，
∵在△PCE和△PMN中
$\left\{\begin{array}{l}{CP=PM}\\{∠EPC=∠MPN}\\{PE=NP}\end{array}\right.$，
∴△PCE≌△PMN（SAS），
∴CE=NM=BN，∠MNP=∠PEC，
∴CE∥MN，
∴∠BNM=∠BOC=90°，
又∵∠BAC=90°，
∴A、B、O、C四點(diǎn)共圓，
∴在四邊形ABOC中，∠ACE=∠ABN，
∵在△ABN和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABN=∠ACE}\\{BN=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△ACE（SAS），
∴AN=AE，∠ABN=∠EAC，
∵∠BAC=90°=∠BAN+∠NAC=∠EAC+∠NAC=∠EAN，
即∠EAN=90°，
∵點(diǎn)P為NE的中點(diǎn)，
∴PA=PN（直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．