Question

15．如圖，已知AB是⊙O的直徑，過O點(diǎn)作OP⊥AB，交弦AC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，且使∠PCA=∠ABC．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若∠P=60°，PC=2，求PE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，求得∠BCO+∠ACO=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠BCO，等量代換得到∠BCO=∠ACP，求得∠OCP=90°，于是得到結(jié)論；
（2）解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接OC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCO+∠ACO=90°，
∵OC=OB，
∴∠B=∠BCO，
∵∠PCA=∠ABC，
∴∠BCO=∠ACP，
∴∠ACP+∠OCA=90°，
∴∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切線；
（2）∵∠P=60°，PC=2，∠PCO=90°，
∴OC=2$\sqrt{3}$，OP=2PC=4，
∴PE=OP-OE=OP-OC=4-2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．