Question

11．如圖，拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{k-2}{4}$x-$\frac{k}{2}$（k＞0）與x軸交于點A、B，點A在點B的右邊，與y軸交于點C

（1）如圖1，若∠ACB=90°
①求k的值；
②點P為x軸上方拋物線上一點，且點P到直線BC的距離為$\sqrt{5}$，則點P的坐標(biāo)為（-4-$\sqrt{26}$，$\frac{1+\sqrt{26}}{2}$）（請直接寫出結(jié)果）
（2）如圖2，當(dāng)k=2時，過原點O的任一直線y=mx（m≠0）交拋物線于點E、F（點E在點F的左邊）
①若OF=2OE，求直線y=mx的解析式；
②求$\frac{1}{OE}$+$\frac{1}{OF}$的值．

Answer 1

分析 （1）①選將函數(shù)關(guān)系式變形為y=$\frac{1}{4}$（x-2）（x+k），從而可得到點A和點B的坐標(biāo)，然后再求得點C的坐標(biāo)，接下來再證明△OBC∽△OCA，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到OC²=AO•OB，從而列出關(guān)于k的方程，故此可求得k的值；
②將k=8代入拋物線的解析式得：y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x-4，然后再求得點A、B、C的坐標(biāo)，依據(jù)勾股定理可求得AC的長，由點B和點C的坐標(biāo)可求得BC的解析式，設(shè)M為AC的中點，則M（1，-2），過點M作PM∥BC，交拋物線與點P．然后求得PM的解析式，最后求得PM與拋物線的交點P的坐標(biāo)即可；
（2）①過點E、F分別作x軸的垂線，垂直分別為M，N．把k=2代入得：y=$\frac{1}{4}$x²-1．將y=mx代入得：$\frac{1}{4}$x²-1=mx，依據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x_E+x_F=4m，x_E•x_F=-4，由OF=2OE，可得到x_F=-2x_E，從而可求得m的值；
②設(shè)∠FON=α，則$\frac{1}{OE}$+$\frac{1}{OF}$=cosα（$\frac{1}{OM}$+$\frac{1}{ON}$）．由直線的解析式可知cosα=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，然后依據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到$\frac{1}{OM}$+$\frac{1}{ON}$=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，故此可求得問題的答案．

解答 解：（1）①∵y=$\frac{1}{4}$[x²+（k-2）x-2k]=$\frac{1}{4}$（x-2）（x+k），
∴點A的坐標(biāo)為（2，0），點B的坐標(biāo)為（-k，0）．
∵將x=0代入拋物線的解析式為y=-$\frac{k}{2}$．
∴點C的坐標(biāo)為（0，-$\frac{k}{2}$）．
∵∠BCO+∠ACO=90°，∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠OBC=∠OCA．
又∵∠BOC=∠AOC，
∴△OBC∽△OCA．
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OB}{OC}$．
∴OC²=AO•OB．
∴$\frac{1}{4}$k²=2k，解得：k=8或k=0（舍去）．

②將k=8代入拋物線的解析式得：y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x-4．
當(dāng)x=0時，y=-4，
∴C（0，-4）．
令y=0得：$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x-4=0，解得x=-8或x=2．
∴A（2，0）B（-8，0）．
∴AC=$\sqrt{A{O}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將點B和點C的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{-8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$-\frac{1}{2}$x-4．
設(shè)M為AC的中點，則M（1，-2），如圖1所示：過點M作PM∥BC，交拋物線與點P．

設(shè)直線PM的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+c，將點M的坐標(biāo)代入得：-$\frac{1}{2}$+c=-2，解得：c=-$\frac{3}{2}$．
∴直線PM的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$．
∴-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x-4，解得x=-4-$\sqrt{26}$或x=-4+$\sqrt{26}$（舍去）．
當(dāng)x=-4-$\sqrt{26}$時，y=$\frac{1+\sqrt{26}}{2}$．
∴點P的坐標(biāo)為（-4-$\sqrt{26}$，$\frac{1+\sqrt{26}}{2}$）．
故答案為：（-4-$\sqrt{26}$，$\frac{1+\sqrt{26}}{2}$）．

（2）①過點E、F分別作x軸的垂線，垂直分別為M，N．

把k=2代入得：y=$\frac{1}{4}$x²-1．
由$\frac{1}{4}$x²-1=mx，得到x_E+x_F=4m，x_E•x_F=-4．
∵OF=2OE，
∴x_F=-2x_E，且x_E＜0，
∴-2x_E•x_E=-4，解得：x_E=-$\sqrt{2}$．
∴-$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=4m，解得：m=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴直線的解析式為y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x．

②設(shè)∠FON=α，則$\frac{1}{OE}$+$\frac{1}{OF}$=cosα（$\frac{1}{OM}$+$\frac{1}{ON}$）．
∵直線EF的解析式為y=mx，
∴tanα=m，
∴cosα=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
∴$\frac{1}{OM}$+$\frac{1}{ON}$=$\frac{MN}{OM•ON}$=$\frac{{x}_{F}-{x}_{E}}{-{x}_{E}•{x}_{F}}$=$\frac{4\sqrt{{m}^{2}+1}}{4}$=$\sqrt{{m}^{2}+1}$．
∴$\frac{1}{OE}$+$\frac{1}{OF}$=cosα（$\frac{1}{OM}$+$\frac{1}{ON}$）=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$•$\sqrt{{m}^{2}+1}$=1．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)和判定、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，銳角三角函數(shù)的定義，用含m的式子表示$\frac{1}{OM}$+$\frac{1}{ON}$的長是解題的關(guān)鍵．