Question

4．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，M為AD中點(diǎn)，連接CM交BD于點(diǎn)N，且ON=1
（1）求BD的長；
（2）若△DCN的面積為4，求四邊形ABCM的面積．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD為平行四邊形，得到對邊平行且相等，且對角線互相平分，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩對角相等，進(jìn)而確定出三角形MND與三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，設(shè)OB=OD=x，表示出BN與DN，求出x的值，即可確定出BD的長；
（2）由相似三角形相似比為1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面積，則由線段之比，得到△MND與△CNB的面積，從而得到S_△ABD=S_△BCD=S_△BCN+S_△CND，最后由S_{四邊形ABNM}=S_△ABD-S_△MND求解．

解答 解：（1）∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△MND∽△CNB，
∴$\frac{MD}{CB}$=$\frac{DN}{BN}$，
∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，
∴MD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，即$\frac{MD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DN}{BN}$=$\frac{1}{2}$，
即BN=2DN，
設(shè)OB=OD=x，則有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x-1，
∴x+1=2（x-1），
解得：x=3，
∴BD=2x=6；
（2）∵△MND∽△CNB，且相似比為1：2，
∴MN：CN=DN：BN=1：2，
∴S_△MND=$\frac{1}{2}$S_△CND=2，S_△BNC=2S_△CND=8．
∴S_△ABD=S_△BCD=S_△BCN+S_△CND=8+4=12，
∴S_{四邊形ABNM}=S_△ABD-S_△MND=12-2=10．
∴S_{四邊形ABCM}=18．

點(diǎn)評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．