Question

6．【問題提出】工人師傅常用角尺平分一個任意角．做法如下：如圖1，∠AOB是一個任意角，在邊OA，OB上分別取OM=ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點M，N重合，即PM=PN．過角尺頂點P的射線OP便是∠AOB的平分線．已知角尺的夾角∠CPD=90°．

【初步思考】
（1）試說明工人師傅這樣做的道理．
（2）李華同學動手操作，把角尺的直角頂點放在如圖2的位置，使得ON=NP，同時PM⊥OA，求證：OP平分∠AOB．
【深入探究】
（3）張明同學認為當∠AOB=90°時，工人師傅就不需要先在邊OA，OB上分別取OM=ON，直接移動角尺，使角尺的兩邊PC，PD分別與OA，OB相交于點M、N，且滿足PM=PN，如圖3，便可以得到OP平分∠AOB，你覺得張明的觀點對嗎？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可得OP=OP．PM=PN，MO=NO，可利用SSS判定△OPM≌△OPN，進而可得OP平分∠AOB；
（2）首先判定MO∥DP，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠OPN=∠POA，然后根據(jù)等邊對等角可得∠OPN=∠PON，進而可得∠MOP=∠PON；
（3）過P作PE⊥AO，PF⊥BO，證明△EPM≌△FPN可得PE=PF，再根據(jù)到角兩邊距離相等的點在角的平分線上可得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵在△OPM和△OPN中$\left\{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{PM=PN}\\{MO=NO}\end{array}\right.$，
∴△OPM≌△OPN（SSS），
∴∠MOP=∠PON，
∴OP平分∠AOB；

（2）∵PM⊥OA，
∴∠CMO=90°，
∵∠MPN=90°，
∴AO∥DP，
∴∠OPN=∠POA，
∵ON=NP，
∴∠OPN=∠PON，
∴∠MOP=∠PON，
∴OP平分∠AOB；

（3）對，
過P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∴∠PEO=∠PFD=90°．
∵∠AOB=90°，
∴∠EPF=90°，
∴∠EPC+∠CPF=90°，
∵∠CPD=90°，
∴∠FPN+∠CPF=90°，
∴∠EPC=∠FPN，
在△EPM和△FPN中$\left\{\begin{array}{l}{∠PEM=∠PFD}\\{∠EPM=∠FPN}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴△EPM≌△FPN（AAS），
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握判定兩個三角形全等的判定方法．