Question

2．已知：正方形ABCD和正方形AEFG，AD=2，AE=2$\sqrt{2}$，將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖，當(dāng)G恰好落在線段DB的延長線上時，則BE的長=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 作AH⊥DG于H，如圖，先根據(jù)正方形的性質(zhì)判斷△AHD為等腰直角三角形，則HD=HA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\sqrt{2}$，再在Rt△AHG中利用勾股定理計算出GH=$\sqrt{6}$，則BG=DH+HG=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，由于∠DAB=90°，∠EAG=90°，AD=AB，AG=AE，于是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可把△ADG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到DG=BE=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．

解答 解：作AH⊥DG于H，如圖，
∵BD為正方形ABCD的對角線，
∴△AHD為等腰直角三角形，
∴HD=HA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
∵四邊形AEFG為正方形，
∴AG=AE=2$\sqrt{2}$，
在Rt△AHG中，GH=$\sqrt{A{G}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴BG=DH+HG=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∵四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形，
∴∠DAB=90°，∠EAG=90°，AD=AB，AG=AE，
∴△ADG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°可得到△ABE，
∴DG=BE=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．
故答案為$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．本題的關(guān)鍵是DG=BE．