Question

19．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AB=16cm，CD=10cm，高為9cm．
（1）若A、B、C、D四點(diǎn)在同一圓上嗎？為什么？
（2）若在同一圓上，求此圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）由等腰梯形的性質(zhì)得出∠A+∠C=180°，即可得出A、B、C、D四點(diǎn)在同一圓上；
（2）作CD的垂直平分線EF，垂足為M，連接OC、OB，則EF一定經(jīng)過圓心O，EF⊥AB，MN=9cm，由垂徑定理得出CM、BM的長，設(shè)OM=xcm，則ON=（9-x）cm，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程求出x，再根據(jù)勾股定理求出OC即可．

解答 解：（1）A、B、C、D四點(diǎn)在同一圓上；理由如下：
∵梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，
∴∠A=∠B，∠C=∠D，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠C=180°，
∴A、B、C、D四點(diǎn)在同一圓上；
（2）如圖所示：作CD的垂直平分線EF，垂足為M，連接OC、OB，
則EF一定經(jīng)過圓心O，EF⊥AB，MN=9cm，
∴CM=$\frac{1}{2}$CD=5cm，BN=AN=$\frac{1}{2}$AB=8cm，
設(shè)OM=xcm，則ON=（9-x）cm，
根據(jù)勾股定理得：OC²=OM²+CM²，OB²=ON²+BM²，OC=OB，
∴x²+5²=（9-x）²-8²，
解得：x=$\frac{20}{3}$，
∴OC=$\sqrt{（\frac{20}{3}）^{2}+{5}^{2}}$=$\frac{25}{3}$（cm），
即此圓的半徑為$\frac{25}{3}$cm．

點(diǎn)評 本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、垂徑定理、勾股定理等知識；本題有一定難度，特別是（2）中，需要通過作輔助線，運(yùn)用勾股定理得出方程才能求解．