Question

15．如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，等腰直角三角形△ABC、△ADE的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)F，G分別為線段DE、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且DF=BG．
（1）∠C=45°；
（2）如圖1，當(dāng)DF=$\sqrt{2}$時(shí)，求AF+AG的值；
（3）當(dāng)AF+AG取得最小值時(shí)，請(qǐng)?jiān)谌鐖D2所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，畫出線段AF和AG，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)F和點(diǎn)G的位置是如何找到的（不要求證明）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)當(dāng)BN=EM=$\sqrt{2}$時(shí)，點(diǎn)N和點(diǎn)M在格點(diǎn)上，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到CN+CM的值；
（3）如圖所示，取格點(diǎn)P、Q，使得PB=AD，PB⊥AB，QD=AB，QD⊥AC，連接AP交CB于G，連接AQ交DE于F，則線段AG和AF即為所求．

解答 解：（1）∵三角形△ABC是等腰直角三角形
∴∠C=45°；
故答案為：45．

（2）當(dāng)BN=EM=$\sqrt{2}$時(shí)，點(diǎn)N和點(diǎn)M在格點(diǎn)上，
∴CN+CM=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$+$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$+$\sqrt{2}$；

（3）如圖所示，取格點(diǎn)P、Q，使得PB=AD，PB⊥AB，QD=AB，QD⊥AC，
連接AP交CB于G，連接AQ交DE于F，則線段AG和AF即為所求．
理由如下：根據(jù)等腰直角三角形ACB與ECD的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上，可得∠PBG=∠ADF=45°，∠ABG=∠QDE=45°，而DF=BG，
故△BPG≌△ADF，△ABG≌△QDF，
∴PG=AF，AG=QF，
∴當(dāng)A，G，P三點(diǎn)共線時(shí)，AG+AF=AG+GP=AP（最短），
當(dāng)Q，F(xiàn)，A三點(diǎn)共線時(shí)，AF+AG=AF+QF=AQ（最短），
∴點(diǎn)F和點(diǎn)G的位置符合題

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了復(fù)雜作圖，勾股定理以及全等三角形判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．