Question

15．如圖，把正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到正方形A′B′CD′（此時，點B′落在對角線AC上，點A′落在CD的延長線上），A′B′交AD于點E，連接AA′、CE．求證：AA′=CE．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=CD，∠ADC=90°，∠CAB=45°，則∠A′DE=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CA′B′=∠CAB=45°，則∠A′ED=45°，于是可得A′D=DE，然后根據(jù)“SAS”可判斷△AA′D≌△CED，則根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠A′DE=90°，
∵正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到正方形A′B′CD′，
∴∠CA′B′=45°，
∴∠A′ED=45°，
∴A′D=DE，
在△AA′D和△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADA′=∠CDE}\\{A′D=ED}\end{array}\right.$，
∴△AA′D≌△CED（SAS），
∴AA′=CE．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．