Question

10．已知如圖，直線y₁=k₁x+b與雙曲線y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象相交于A（2，-3）、B（-3，m）兩點(diǎn)．
（1）求直線和雙曲線的解析式．
（2）連接OA、OB，已知點(diǎn)P在x軸上，且S_△PBO=2S_△ABO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）直線AB與x軸交于點(diǎn)C，在y軸上是否存在一點(diǎn)D，使△BCD的周長(zhǎng)最��？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先由點(diǎn)A坐標(biāo)求出雙曲線解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)B坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；
（2）先求出△ABO的面積，進(jìn)而得出△PBO的面積設(shè)即可求出OP即可得出結(jié)論（3）先作出點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C即可求出C'的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線BC的解析式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（2，-3）在雙曲線y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$上，
∴k₂=2×（-3）=-6，
∴雙曲線的解析式為y₂=-$\frac{6}{x}$，
∵點(diǎn)B（-3，m）在雙曲線y₂=-$\frac{6}{x}$上，
∴-3m=-6，
∴m=2，
∴B（-3，2），
∵點(diǎn)A（2，-3），B（-3，2）在直線y₁=k₁x+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3{k}_{1}+b=2}\\{2{k}_{1}+b=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y₁=-x-1；

（2）如圖1，
記直線AB與x軸相交于點(diǎn)C，
由（1）知，B（-3，2），直線AB的解析式為y₁=-x-1，
∴C（-1，0），
∴S_△ABO=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$OC×|y_A|+$\frac{1}{2}$OC×|y_B|=$\frac{1}{2}$×1×（3+2）=$\frac{5}{2}$，
設(shè)點(diǎn)P（n，0），
∴S_△PBO=$\frac{1}{2}$OP×|y_B|=$\frac{1}{2}$|n|×2=|n|，
∵S_△PBO=2S_△ABO，∴|n|=2×$\frac{5}{2}$=5，
∴n=±5，
∴P（-5，0）或（5，0）；
（3）如圖2，作出點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C'（1，0），
∵B（-3，2），
∴直線BC'的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
∴D（0，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，最值的確定，解本題的根據(jù)是用方程的思想思考問(wèn)題．