Question

17．已知關(guān)于x的方程mx²+（2m-1）x+m-1=0（m≠0）．
（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求整數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）由于m≠0，則計(jì)算判別式的值得到△=1，從而可判斷方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）先利用求根公式得到x₁=-1，x₂=$\frac{1}{m}$-1，然后利用有理數(shù)的整除性確定整數(shù)m的值．

解答 （1）證明：∵m≠0，
∴方程為一元二次方程，
∵△=（2m-1）²-4m（m-1）=1＞0，
∴此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）∵x=$\frac{-（2m-1）±1}{2m}$，
∴x₁=-1，x₂=$\frac{1}{m}$-1，
∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且m是整數(shù)，
∴m=1或m=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．