Question

9．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與直線OC交于點(diǎn)C，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1，OA=OB，△OAC的面積為$\frac{3}{2}$．
（1）求C點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿線段OD以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)D動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線分別與直線AB、OC交與E、F兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），線段EF的長(zhǎng)為d，△ECF的面積為$\frac{3}{4}$（t-2）²，用含t的代數(shù)式表示d，并直接寫(xiě)出t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△EFQ為等腰直角三角形？若存在，求滿足條件t的值，并直接寫(xiě)出Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由C的縱坐標(biāo)及三角形OAC的面積求出OA的長(zhǎng)，進(jìn)而得出OB的長(zhǎng)，確定出A與B的坐標(biāo)，得出直線AB解析式，把C的縱坐標(biāo)代入求出橫坐標(biāo)，即可確定出C的坐標(biāo)；
（2）由C的坐標(biāo)確定出直線OC的解析式，根據(jù)P的坐標(biāo)表示出E與F坐標(biāo)，即可得出d與t的關(guān)系式；
（3）在y軸上存在點(diǎn)Q使得△EFQ為等腰直角三角形，分三種情況考慮：①當(dāng)Q為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時(shí)，EQ=FQ，EF為斜邊；②當(dāng)E為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時(shí)，EQ=EF=t；③當(dāng)F為等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)時(shí)，則FQ=EF=t，分別求出Q坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵C的縱坐標(biāo)為1，S_△OAC=$\frac{1}{2}$OA•C_{縱坐標(biāo)}=$\frac{3}{2}$，
∴OA=3，
∴OB=OA=3，
∴A（3，0），B（0，3），
∴直線AB的斜率為-1，解析式為y=-x+3，
把y=1代入得：x=2，
則C（2，1）；
（2）由（1）得：直線AB解析式為y=-x+3，
∵C（2，1），
∴直線OC的斜率為$\frac{1}{2}$，即解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
∵P（t，0），∴E、F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，
∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)為-t+3，F(xiàn)點(diǎn)縱坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$t，
則d=-t+3-$\frac{1}{2}$t=-$\frac{3}{2}$t+3（0≤t≤2）；
（3）在y軸上存在點(diǎn)Q使得△EFQ為等腰直角三角形，
①當(dāng)Q為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時(shí)，EQ=FQ，EF為斜邊，
∵直線AB與坐標(biāo)軸的夾角為45°，
∴EQ=BE=$\sqrt{2}$t，
∴Q（0，3-2t），F(xiàn)（t，3-2t），
∵F在直線CD上，
∴3-3t=$\frac{1}{2}$t，
解得：t=$\frac{6}{7}$，
此時(shí)Q（0，$\frac{9}{7}$）；
②當(dāng)E為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時(shí)，EQ=EF=t，
可得t=-$\frac{3}{2}$t+3，
解得：t=$\frac{6}{5}$，
此時(shí)Q（0，$\frac{9}{5}$）；
③當(dāng)F為等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)時(shí)，則FQ=EF=t，
可得t=-$\frac{3}{2}$t+3，
解得：t=$\frac{6}{5}$，
此時(shí)Q（0，$\frac{3}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩直線的交點(diǎn)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．