Question

4．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，AC=BD，S_ABCD=8cm²，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長等于8cm．

Answer 1

分析 先由三角形的中位線定理推知四邊形EFGH是平行四邊形，然后由AC⊥BD可以證得平行四邊形EFGH是矩形，然后求得周長即可．

解答 如圖，∵E、F、G、H分別是線段AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，
∴EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線，EF、HG分別是△ACD、△ABC的中位線，
根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)知，EF∥AC，GH∥AC且EF=$\frac{1}{2}$AC，GH=$\frac{1}{2}$AC
∴四邊形EFGH是平行四邊形
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG
∴四邊形EFGH是矩形，
∵AC⊥BD，AC=BD，S_ABCD=8cm²，
∴$\frac{1}{2}$AC•BD=8，
解得：AC=BD=4，
∴EH=HG=2，
∴四邊形EFGH的周長為8cm，
故答案為：8cm．

點(diǎn)評 本題主要考查中點(diǎn)四邊形，解題時(shí)，利用三角形中位線定理判定四邊形EFGH是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．