Question

16．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D是AC邊上的一點(diǎn)，連結(jié)BD，作AE⊥BD交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)G，AF平分∠BAC交BD于點(diǎn)F，試說明AE=BF的理由．

Answer 1

分析 由直角三角形的兩個銳角互余得出∠ABF=∠CAE，再由等腰直角三角形的性質(zhì)和角平分線得出∠BAF=∠C，由ASA證明△BAF≌△CAE，得出對應(yīng)邊相等即可．

解答 證明：∵∠BAC=90°，AE⊥BD，
∴∠CAE+∠BAE=∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠ABF=∠CAE，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AF是角平分線，
∴∠BAF=45°=∠C，
在△BAF和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠CAE}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\\{∠BAF=∠C}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△CAE（ASA），
∴AE=BF．

點(diǎn)評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形兩個銳角互余的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．