Question

15．如圖，已知點(diǎn)A（4，0），B（0，4$\sqrt{3}$），把一個(gè)直角三角尺DEF放在△OAB內(nèi)，使其斜邊FD在線段AB上，三角尺可沿著線段AB上下滑動(dòng)．其中∠EFD=30°，ED=2，點(diǎn)G為邊FD的中點(diǎn)．
（1）求直線AB的解析式；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)G的反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的解析式；
（3）在三角尺滑動(dòng)的過(guò)程中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)G的反比例函數(shù)的圖象能否同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F？如果能，求出此時(shí)反比例函數(shù)的解析式；如果不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入，組成方程組，解方程組求出k、b的值即可；
（2）由Rt△DEF中，求出EF、DF，在求出點(diǎn)D坐標(biāo)，得出點(diǎn)F、G坐標(biāo)，把點(diǎn)G坐標(biāo)代入反比例函數(shù)求出k即可；
（3）設(shè)F（t，-$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$），得出D、G坐標(biāo)，設(shè)過(guò)點(diǎn)G和F的反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{m}{x}$，用待定系數(shù)法求出t、m，即可得出反比例函數(shù)解析式．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∵A（4，0），B（0，4$\sqrt{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$；
（2）∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2，
∴EF=2$\sqrt{3}$，DF=4，
∵點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，
∴D（4，0），
∴F（2，2$\sqrt{3}$），
∴G（3，$\sqrt{3}$），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，
∴k=3$\sqrt{3}$，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{3\sqrt{3}}{x}$；
（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)G的反比例函數(shù)的圖象能同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F；理由如下：
∵點(diǎn)F在直線AB上，
∴設(shè)F（t，-$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$），
又∵ED=2，
∴D（t+2，-$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$），
∵點(diǎn)G為邊FD的中點(diǎn)．
∴G（t+1，-$\sqrt{3}$t+3$\sqrt{3}$），
若過(guò)點(diǎn)G的反比例函數(shù)的圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，
設(shè)解析式為y=$\frac{m}{x}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}t+3\sqrt{3}=\frac{m}{t+1}}\\{-\sqrt{3}t+4\sqrt{3}=\frac{m}{t}}\end{array}\right.$，
整理得：（-$\sqrt{3}$t+3$\sqrt{3}$）（t+1）=（-$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$）t，
解得：t=$\frac{3}{2}$，
∴m=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)G的反比例函數(shù)的圖象能同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，這個(gè)反比例函數(shù)解析式為：y=$\frac{15\sqrt{3}}{4x}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、求反比例函數(shù)的解析式、坐標(biāo)與圖形特征、解直角三角形、解方程組等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．