Question

4．在直角坐標系中，直線y=x+1與y軸交于點A，按如圖方式作正方形A₁B₁C₁O、A₂B₂C₂C₁、A₃B₃C₃C₂…，A₁、A₂、A₃…在直線y=x+1上，點C₁、C₂、C₃…在x軸上，圖中陰影部分三角形的面積從左到右依次記為S₁、S₂、S₃、…S_n，則S_n的值為2^2n-3（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）．

Answer 1

分析 根據(jù)直線解析式先求出OA₁=1，得出第一個正方形的邊長為1，求得A₂B₁=A₁B₁=1，再求出第二個正方形的邊長為2，求得A₃B₂=A₂B₂=2，第三個正方形的邊長為2²，求得A₄B₃=A₃B₃=2²，得出規(guī)律，根據(jù)三角形的面積公式即可求出S_n的值．

解答 方法一：
解：∵直線y=x+1，當x=0時，y=1，當y=0時，x=-1，
∴OA₁=1，OD=1，
∴∠ODA₁=45°，
∴∠A₂A₁B₁=45°，
∴A₂B₁=A₁B₁=1，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
∵A₂B₁=A₁B₁=1，
∴A₂C₁=2=2¹，
∴S₂=$\frac{1}{2}$×（2¹）²=2¹
同理得：A₃C₂=4=2²，…，
S₃=$\frac{1}{2}$×（2²）²=2³
∴S_n=$\frac{1}{2}$×（2^n-1）²=2^2n-3
故答案為：2^2n-3．

方法二：
∵y=x+1，正方形A₁B₁C₁O，
∴OA₁=OC₁=1，A₂C₁=2，B₁C₁=1，
∴A₂B₁=1，S₁=$\frac{1}{2}$，
∵OC₂=1+2=3，
∴A₃C₂=4，B₂C₂=2，
∴A₃B₂=2，
S₂=2，
∴q=$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=4，
∴S_n=$\frac{1}{2}×{4}^{n-1}={2}^{2n-3}$．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及正方形的性質(zhì)；通過求出第一個正方形、第二個正方形和第三個正方形的邊長得出規(guī)律是解決問題的關鍵．