Question

6．如圖，在直角坐標系中，點A，B分別在x軸負半軸、y軸正半軸上，
OA=1，OB=$\sqrt{3}$，以AB為邊在第二象限作□ABCD，∠DAB=75°．
（1）若BC=$\sqrt{2}$AB，求點D的坐標；
（2）在（1）的情況下，若反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過D點，求證：點C不在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$ 的圖象上；
（3）問是否存在m，使得BC=mAB，且C、D兩點均在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出AB=2，∠OAB=60°，得出∠DAE=45°，即可求出DE=AE，進而求出OE，即可得出結論；
（2）先確定出反比例函數(shù)解析式，再求出點C的坐標，即可判斷點C不在反比例函數(shù)圖象上；
（3）假設存在，同（1）的方法求出點D的坐標，同（2）的方法求出點C的坐標，進而建立方程，得出的方程無解，即可得出結論．

解答 解：（1）如圖1，過點D作DE⊥OA于E，
在Rt△AOB中，OA=1，OB=$\sqrt{3}$，
∴AB=2，tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴∠OAB=60°，
∵∠DAB=75°，
∴∠DAE=180°-∠DAB-∠OAB=45°，
∵BC=$\sqrt{2}$AB，
∴BC=$\sqrt{2}$×2=2$\sqrt{2}$，
在Rt△ADE中，DE=AE=2，
∴OE=OA+AE=3，
∴D（-3，2）；

（2）如圖2，由（1）知，D（-3，2），
∵在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過D點，
∴k=-3×2=-6，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{6}{x}$，
過點C作CF⊥OB，
由（1）知，∠OAB=60°，
∴∠OBA=90°-∠OAB=30°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC∥AD，BC=AD=2$\sqrt{2}$，
∴∠ABC=180°-∠DAB=105°，
∴∠CBF=180°-∠OBA-∠ABC=45°，
在Rt△BCF中，BC=2$\sqrt{2}$，
∴CF=BF=2，
∴OF=OB+BF=2+$\sqrt{3}$，
∴C（-2，2+$\sqrt{3}$），
∴-2×（2+$\sqrt{3}$）≠-6，
∴點C不在反比例函數(shù)y=-$\frac{6}{x}$的圖象上；

（3）假設存在，同（1）的方法得，D（-$\sqrt{2}$m-1，$\sqrt{2}$m），
∵點D在反比例函數(shù)圖象上，
∴k=-$\sqrt{2}$m（$\sqrt{2}$m+1）
同（2）的方法得，點C（-$\sqrt{2}$m，$\sqrt{2}$m+$\sqrt{3}$），
∵點C在反比例函數(shù)圖象上，
∴k=-$\sqrt{2}$m（$\sqrt{2}$m+$\sqrt{3}$），
∴-$\sqrt{2}$m（$\sqrt{2}$m+1）=-$\sqrt{2}$m（$\sqrt{2}$m+$\sqrt{3}$），
∵BC=mAB，
∴m≠0，
∴-$\sqrt{2}$m（$\sqrt{2}$m+1）=-$\sqrt{2}$m（$\sqrt{2}$m+$\sqrt{3}$）不成立，
即：不存在m，使得BC=mAB，且C、D兩點均在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上．

點評 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了直角三角形的性質，銳角三角函數(shù)，勾股定理，等腰直角三角形的性質，待定系數(shù)法，解（1）的關鍵是作出輔助線，解（2）的關鍵是確定出點C的坐標，解（3）的關鍵是用（1）（2）的方法得出點D，C的坐標．