Question

11．如圖，已知在△ABC中，AB=AC，D為BC邊的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F．
（1）求證：DE=DF；
（2）若∠A=60°，BE=2，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)DE⊥AB，DF⊥AC，AB=AC，求證∠B=∠C．再利用D是BC的中點，求證△BED≌△CFD即可得出結論．
（2）根據(jù)AB=AC，∠A=60°，得出△ABC為等邊三角形．然后求出∠BDE=30°，再根據(jù)題目中給出的已知條件即可算出△ABC的周長．

解答 （1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等邊對等角）．
∵D是BC的中點，
∴BD=CD．
在△BED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠CFD}\\{∠B=∠C}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CFD（AAS）．
∴DE=DF；

（2）解：∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC為等邊三角形．
∴∠B=60°，
∵∠BED=90°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD，
∵BE=2，
∴BD=2=4，
∴BC=2BD=8，
∴△ABC的周長為24．

點評 此題主要考查學生對等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質直角三角形的性質等知識點的理解和掌握．