Question

11．（1）如圖1，已知OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，∠AOC=30°，OE是∠COB的平分線．當(dāng)∠COE=40°時(shí)，求∠AOB的度數(shù)；
（2）如圖2，已知射線Ox與射線Oy互相垂直，B，A分別為Ox、Oy上一動(dòng)點(diǎn)，∠ABx、∠BAy的平分線交于C．問(wèn)：B、A在Ox、Oy上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠C的度數(shù)是否改變？若不改變，求出其值；若改變，說(shuō)明理由．
（3）如圖3，E和D分別在△ABC的邊BA和CA的延長(zhǎng)線上，CF、EF分別平分∠ACB和∠AED，若∠B=70°，∠D=40°，求∠F的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線線的定義求得∠COB=80°．然后根據(jù)圖中角與角間的和差關(guān)系得到∠AOB=∠AOC+∠COB=110°．
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理、角平分線定義和三角形的外角的性質(zhì)可以得到∠C=90°-$\frac{1}{2}$∠O．
（3）由CF、EF分別平分∠ACB和∠AED，得∠3=∠4，∠1=∠2，所以有∠3+∠B=∠2+∠F；∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+∠D，即2∠3+∠B=2∠2+∠D，而∠B=70°，∠D=40°，于是由兩個(gè)等式即可求出∠F．

解答 解：（1）如圖1，∵OE是∠COB的平分線（已知），
∴∠COB=2∠COE（角平分線定義），
∵∠COE=40°，
∴∠COB=80°．                  
∵∠AOC=30°，
∴∠AOB=∠AOC+∠COB=110°．  

（2）如圖2，∠C的度數(shù)不改變，為45°．
∵∠ABN、∠BAM的平分線交于C，
∴∠C=180°-（∠1+∠2）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABN+∠BAM）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠O+∠OAB+∠BAM）
=90°-$\frac{1}{2}$∠O
=45°．

（3）如圖3，∵CF、EF分別平分∠ACB和∠AED，
∴∠3=∠4，∠1=∠2，
∵∠3+∠B=∠2+∠F；
∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+∠D，即2∠3+∠B=2∠2+∠D，
又∵∠B=70°，∠D=40°，
∴∠3+70°=∠2+∠F①，
2∠3+70°=2∠2+40°②，
①×2-②得，70°=2∠F-40°，
解得∠F=55°．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)以及角平分線定義．根據(jù)題意得到∠C和∠O之間的數(shù)量關(guān)系（∠C=90°-$\frac{1}{2}$∠O）是解題的難點(diǎn)．