Question

6．已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，BE=EF，M是FD的中點，
（1）如圖①，當(dāng)BF落在BC上時，試判斷ME和MC的關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖②，將三角形BEF繞點B旋轉(zhuǎn)至BE落在BC上時，上述結(jié)論是否依然成立？說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得出結(jié)論；
（2）先證明△DHM≌△FEM，得EF=DH，EM=HM，而BE=EF，得出BE=DH，根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD，則CH=CE，于是可判斷△CHE為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到MC⊥EH，MC=EM=MH，即EM=MC，EM⊥MC．

解答 解：（1）ME=MC，ME⊥MC；如圖1所示：理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，
∴∠DCF=90°，∠BEF=90°，
∴∠DEF=90°，
∵M(jìn)是FD的中點，
∴ME=$\frac{1}{2}$DF，MC=$\frac{1}{2}$DF，
∴ME=MC；
∵EM=MD，
∴∠3=∠5，
∴∠1=2∠3，
同理∠2=2∠4，
∴∠EGC=2（∠3+∠4）=90°，
∴EM⊥MC．
（2）上述結(jié)論成立；理由如下：
延長EM交CD于點H，如圖2所示：
∵∠BEF=90°，
∴EF⊥BC，
而CD⊥BC，
∴EF∥CD，
∴∠1=∠2，
∵點M為DF的中點，
∴DM=FM，
在△DHM和△FEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}&{\;}\\{DM=FM}&{\;}\\{∠4=∠3}&{\;}\end{array}\right.$
∴△DHM≌△FEM（ASA）
∴EF=DH，EM=HM，
∵BE=EF，
∴BE=DH，
∵CB=CD，
∴CD-DH=CB-BE，即CH=CE，
∴△CHE為等腰直角三角形，
∵EM=MH，
∴EM⊥MC，MC=EM．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)；本題難度較大，特別是（2）中，需要通過作輔助線證明三角形全等和等腰直角三角形才能得出結(jié)論．