Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P（a，b）在第一象限．以P為圓心的圓經(jīng)過原點，與y軸的另一個交點為A．點Q是線段OA上的點（不與O，A重合），過點Q作PQ的垂線交⊙P于點B（m，n），其中m≥0．
（1）若b=5，則點A坐標(biāo)是（0，10）；
（2）在（1）的條件下，若OQ=8，求線段BQ的長；
（3）若點P在函數(shù)y=x²（x＞0）的圖象上，△BQP是等腰三角形且PQ=$\sqrt{10}$，求出點B的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過點P作PH⊥OA于點H，由垂徑定理可求出OA的長，進(jìn)而可求出A的坐標(biāo)；
（2）連接BP、OP，由已知條件易求QH，在Rt△QHP中，由勾股定理可得：PQ²=QH²+PH²=9+PH²，在Rt△PHO中，由勾股定理可得：PO²=OH²+PH²=25+PH²=BP²，進(jìn)而在Rt△BQP中，BQ²=BP²-PQ²=（25+PH²）-（9+PH²）=16．所以BQ=4；
（3）作BM⊥y軸于點M，首先求出a=2，再求出MQ=PH=2，利用勾股定理可求出MB=QH=$\sqrt{6}$．所以可得：B₁（$\sqrt{6}$，6+$\sqrt{6}$），若點Q在OH上，再由拋物線對稱性可得B₂（$\sqrt{6}$，2-$\sqrt{6}$）．

解答 解：（1）過點P作PH⊥OA于點H，
∴OA=2OH，
∵b=5，
∴OH=5，
∴OA=10，
∴點A坐標(biāo)是（0，10）．
故答案為：（0，10）．

（2）連接BP、OP．
∵b=5，PH⊥OA，
∴OH=AH=5．
∵OQ=8，
∴QH=OQ-OH=3．
在Rt△QHP中，PQ²=QH²+PH²=9+PH²，
在Rt△PHO中，PO²=OH²+PH²=25+PH²=BP²，
在Rt△BQP中，BQ²=BP²-PQ²=（25+PH²）-（9+PH²）=16．
∴BQ=4；

（3）△BQP是等腰直角三角形，PQ=$\sqrt{10}$，
∴半徑BP=2$\sqrt{5}$．
又∵P（a，a²），
∴OP²=a²+a⁴=（2$\sqrt{5}$）²．
即a⁴+a²-20=0．
解得a=±2．
∵a＞0
∴a=2．
∴P（2，4）．
如圖，作BM⊥y軸于點M，則△QBM≌△PQH．
∴MQ=PH=2，
∴MB=QH=$\sqrt{P{Q}^{2}-P{H}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
∴B₁（$\sqrt{6}$，6+$\sqrt{6}$）．
若點Q在OH上，由對稱性可得B₂（$\sqrt{6}$，2-$\sqrt{6}$）
綜上，當(dāng)PQ=$\sqrt{10}$時，B點坐標(biāo)為（$\sqrt{6}$，6+$\sqrt{6}$）或（$\sqrt{6}$，2-$\sqrt{6}$）．

點評 本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、勾股定理的運用，三角形全等、探究等腰三角形的構(gòu)成情況等重要知識點，綜合性強，能力要求極高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．