Question

19．在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB=5，AC=6，過(guò)D點(diǎn)作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求△BDE的周長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)P為線段BC上的點(diǎn)，連接PO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)Q，當(dāng)四邊形PQDE為等腰梯形時(shí)，求四邊形ABPQ的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=3，OB=OD，AB=BC=AD=5，則利用勾股定理開(kāi)始計(jì)算出OB=4，所以BD=2OB=8，再證明四邊形ACED為平行四邊形得到CE=AD=5，DE=AC=6，然后計(jì)算△BDE的周長(zhǎng)；
（2）先證明△OBP≌△ODQ得到OP=OQ，由四邊形PQDE為等腰梯形得PQ=DE，則AC=DQ，于是可判斷四邊形APCQ為矩形，所以AP⊥BC，利用面積法可計(jì)算出AP=$\frac{24}{5}$，然后根據(jù)梯形的面積公式可得到四邊形ABPQ的面積=$\frac{1}{2}$（BP+AQ）•AP=$\frac{1}{2}$（DQ+AQ）•AP=12．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=3，OB=OD，AB=BC=AD=5，
在Rt△AOB中，OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴BD=2OB=8，
∵DE∥AC，
而AD∥BC，
∴四邊形ACED為平行四邊形，
∴CE=AD=5，DE=AC=6，
∴△BDE的周長(zhǎng)=BD+DE+BE=8+6+5+5=24；
（2）證明：∵BP∥DQ，
∴∠OBP=∠ODQ，
在△OBP和△ODQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOP=∠DOQ}\\{OB=OD}\\{∠OBP=∠ODQ}\end{array}\right.$，
∴△OBP≌△ODQ，
∴OP=OQ，
∵四邊形PQDE為等腰梯形，
∴PQ=DE，
而DE=AC，
∴AC=DQ，
而OA=OC，OP=OQ，
∴四邊形APCQ為矩形，
∴∠APC=90°，
∴AP⊥BC，
∵$\frac{1}{2}$AP•BC=$\frac{1}{2}$BO•AC，
∴AP=$\frac{4×6}{5}$=$\frac{24}{5}$，
∴四邊形ABPQ的面積=$\frac{1}{2}$（BP+AQ）•AP=$\frac{1}{2}$（DQ+AQ）•AP=$\frac{1}{2}$•5•$\frac{24}{5}$=12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半．也考查了等腰梯形的性質(zhì)和矩形的判定與性質(zhì)．