Question

14．如圖，△ABC是等腰直角三角形，動點P在斜邊AB所在的射線上，以PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ，已知∠PCQ=90°，設(shè)∠ACP=α．
（1）則圖中∠BCQ=α（用含α的代數(shù)式表示）；
（2）探究：
①由操作知，動點P在射線AB的不同位置時，α的大小不同，直接寫出α的取值范圍；
②若△PCQ的面積最小，求α的值；
③若△BPC是等腰三角形，求α的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的余角相等進行判斷即可；
（2）①分四種情況討論：當點P與點A重合時；當點P在AB之間（不與A、B重合）時；當點P與點B重合時；當點P在AB的延長線上時，分別求得α的取值范圍；
②根據(jù)垂線段最短可得，當CP⊥AB時，CP最短，此時，等腰Rt△PCQ的面積最小，求得α=45°；
③分四種情況討論，分別根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)，求得α的值．

解答 解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠PCQ=90°，
∴∠ACB=∠PCQ=90°，
∴∠ACB-∠PCB=∠PCQ-∠PCB，
∴∠ACP=∠BCQ=α，
故答案為：α；

（2）①當點P與點A重合時，∠ACP=α=0°；
當點P在AB之間（不與A、B重合）時，∠ACP為銳角，即0°＜α＜90°；
當點P與點B重合時，∠ACP為直角，即α=90°；
當點P在AB的延長線上時，∠ACP是鈍角，90°＜α＜135°；

②根據(jù)垂線段最短可得，當CP⊥AB時，CP最短，如圖所示，
此時，等腰Rt△PCQ的面積最小，
∴α=∠CPB-∠BAC=90°-45°=45°；


③如圖所示，當CA=CB時，△BCP是等腰直角三角形，此時點P與點A重合，∠ACP=α=0°；

如圖所示，當BC=BP時，△BCP是等腰三角形，此時∠BCP=$\frac{180°-45°}{2}$=67.5°，
∴∠ACP=α=90°-67.5°=22.5°；

如圖所示，當PB=PC時，△BCP是等腰直角三角形，此時∠PCB=45°，
∴∠ACP=α=90-45°=45°；

如圖所示，當BP=BC時，△BCP是等腰三角形，此時∠BCP=$\frac{45°}{2}$=22.5°，
∴∠ACP=α=90°+22.5°=112.5°；

綜上所述，α的值為0°，22.5°，45°，112.5°．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應用，解決問題的關(guān)鍵是掌握：三角形的內(nèi)角和等于180°，解題時注意分類討論思想和垂線段最短的運用，分類時不能重復，也不能遺漏．