Question

7．閱讀情境：
在綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們探究“全等的等腰直角三角形圖形變化問題”，如圖1，△ABC≌△ADE，其中，∠B=∠D=90°，AB=BC=AD=DE=2，此時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合．
操作探究1：
（1）小凡將圖1中的△ABC沿射線AD方向平移得到△A′B′C′，使點(diǎn)A′在邊AD上，線段A′B′與AE相交于點(diǎn)N，線段A′C′與DE相交于點(diǎn)M，請(qǐng)你在圖2中畫出△ABC平移后某一情形的△A′B′C′，并根據(jù)所畫圖形寫出一個(gè)正確結(jié)論（題目中的已知條件均不能作為結(jié)論）；
操作探究2：
（2）小彬?qū)�圖1中的△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜90°），然后，分別延長(zhǎng)BC，DE，它們相交于點(diǎn)F，如圖3，在操作中，小彬提出如下問題，請(qǐng)你解答：
①當(dāng)α=30°時(shí)，求證：△CEF為等邊三角形；
②當(dāng)α=45°時(shí)，四邊形ACFE為平行四邊形（直接回答即可）；
（3）小穎將圖1中的△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度β（0°＜β＜90°），線段BC和DE相交于點(diǎn)F，在操作中，小穎提出如下問題，請(qǐng)從下列A、B兩個(gè)問題中任選一題進(jìn)行解答．
A：當(dāng)β=60°時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D4中畫出旋轉(zhuǎn)得到的圖形，并直接寫出線段CE的長(zhǎng)
B：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)F是邊DE的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D4中畫出旋轉(zhuǎn)得到的圖形，并直接寫出線段CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖2．結(jié)論不唯一：比如，AN′∥EM，EN=A′M，四邊形A′NEM是平行四邊形等；
（2）①如圖3中，連接AF．先證明Rt△ABF≌Rt△ADF推出BF=DF，由BC=DE，推出BF-BC=DF-DE，即CF=EF，再證明∠ECF=60°即可；
②觀察圖象可知旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，四邊形ACFE是平行四邊形；
（3）A．易證△AEC是等邊三角形，CE=AE=AC=2$\sqrt{2}$；
B．易證四邊形BECD是矩形，可得EC=BD=2OB=2×$\frac{AB•BF}{AF}$；

解答 解：（1）如圖2．

結(jié)論不唯一：比如，AN′∥EM，EN=A′M，四邊形A′NEM是平行四邊形等．

（2）①證明：如圖3中，連接AF．

∵∠B=∠D=90°，AB=AD，AF=AF，
∴Rt△ABF≌Rt△ADF
∴BF=DF，
∵BC=DE，
∴BF-BC=DF-DE，即CF=EF，
∵AB=BC，∠B=90°，
∴∠1=∠2=$\frac{180°-90°}{2}$=45°，
∵AC=AE，∠CAE=30°，
∴∠3=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠ECF=180°-∠2-∠3
=180°-45°-75°
=60°，
∴△CEF是等邊三角形．
②觀察圖象可知旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，四邊形ACFE是平行四邊形，
故答案為45．

（3）A．易證△AEC是等邊三角形，CE=AE=AC=2$\sqrt{2}$．


B．∵AB=AD，
∴點(diǎn)A在BD的中垂線上．
∵BF=DF，
∴點(diǎn)F在BD的中垂線上．
∴AF為BD的中垂線，AF⊥OB，BD=2OB．
∵S_△ABF=$\frac{1}{2}$•AB×BF，S_△ABF=$\frac{1}{2}$•OB×AF，
∴OB=$\frac{AB•BF}{AF}$
易證四邊形BECD是矩形，可得EC=BD=2OB=2×$\frac{AB•BF}{AF}$=2×$\frac{2×1}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)正確畫出圖形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．