Question

7．四邊形ABCD中，AB=BC，BC∥AD，∠ABC=90°，點(diǎn)E為DC上一點(diǎn)，且AE=AB，AM平分∠DAE交BE的延長(zhǎng)線于M，連接CM．
（1）求證：∠BAE=2∠MBC；
（2）求證：MB平分∠AMC；
（3）若AB=4，∠CBM=30°，則EM=2$\sqrt{3}$-2（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥MB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，因?yàn)椤螦BC=90°，根據(jù)同角的余角相等及等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)不難得到∠BAE=2∠MBC，
（2）由AM平分∠DAF及AF平分∠EAB及∠DAB=90°，得∠MAF=45°，從而得到∠AMF=45°，進(jìn)一步證得△AFM為等腰三角形，延長(zhǎng)AG到H，使AH=MB，通過(guò)證△ABH≌△BCM，所以FB=FH，∠FHB=∠FBH=45°，因此∠CMB=∠AMB=45°，結(jié)論得證，
（3）若∠MBC=30°，則∠BAF=30°，在Rt△BFA中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，種用勾股定理求出AF的長(zhǎng)及MF的長(zhǎng)，所以ME=MF-EF可求解．

解答 （1）證明：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥MB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，
∵AE=AB，
∴∠EAG=∠BAG=$\frac{1}{2}$∠BAE，
∵∠ABC=90°，∠ABF+∠GFB=90°，
又∠FAB+∠ABF=90°，
∴∠FBG=∠FAB即：∠MBC=∠GAB=$\frac{1}{2}$∠BAE，
∴∠BAE=2∠MBC．
（2延長(zhǎng)AG到H使AH=MB，連結(jié)BH，
∵BC=AB，∠CBM=∠HAB，
∴△MCB≌△HBA
∴∠BMC=∠AHB
∵AD平分∠DAE，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠DAE，
又∠2=$\frac{1}{2}$∠EAB，
∴∠MAF=∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠DAE+∠EAB）=$\frac{1}{2}$∠DAB$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∵∠AFE=90°，
∴∠AMB=90°-∠MAF=90°-45°=45°，
∴∠AMB=∠MAB，
∴FM=FA，
∴MB-FM=AH-AF，即：FB=FH，
∴∠FHB=∠FBH=45°，
∴∠AMB=∠FBH
∴∠CMB=∠AMB
∴MB平分∠AMC，
（3）如右上題圖，若∠MBC=30°，則∠FAB=30°，
在Rt△ABF中，EF=FB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}-F{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵M(jìn)F=AF=2$\sqrt{3}$，
∴ME=MF-EF=2$\sqrt{3}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及輔助線的正確運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．