Question

17．如圖，?ABCD中，∠B=45°，AC⊥BC，E是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，連接OE，交DA延長(zhǎng)線與點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥OE交AC于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接CO．
（1）若CD=4，求四邊形AHOF的面積；
（2）若∠COF=15°，求證：BG-AH=2OF．

Answer 1

分析 （1）由條件可證得△OAH≌△OCF，則可得S_{四邊形AHOF}=S_△AOC，由平行四邊形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求得是AO=OC=2，則可求得答案；
（2）可證得△AEH≌△CGF，則可求得AE=CG，則可求得BG-AH=EF，在Rt△OEF中利用直角三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論．

解答 （1）解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵O為AB中點(diǎn)，
∴OA=OB=OC，OC⊥AB，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴DH∥BC，
∴∠HAO=∠B=45°，
∴∠OCF=∠OAH=45°，
∵OG⊥OE，
∴∠AOH+∠AOG=∠AOG+∠COF，
∴∠AOH=∠COF，
在△OAH和△OCF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAH=∠OCF}\\{OA=OC}\\{∠AOH=∠COF}\end{array}\right.$
∴△OAH≌△OCF（ASA），
∴S_△AOH=S_△COF，
∴S_{四邊形AHOF}=S_△AOF+S_△AOH=S_△AOF+S_△COF=S_△AOC，
∵CD=4，
∴AB=4，
∴AO=CO=2，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OA•OC=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∴S_{四邊形AHOF}=2；
（2）證明：
∵△OAH≌△OCF，
∴AH=CF，
∵∠COF=∠AOH=15°，且∠G+∠COF=∠E+∠AOE=45°，
∴∠E=∠G=30°，
在△AHE和△CFG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠G}\\{∠EAH=∠GCF}\\{AH=CF}\end{array}\right.$
∴△AHE≌△CFG（AAS），
∴AE=CG，
∵BC=AC，
∴BG-AH=BG-CF=BC+CG-AH=AC+AE-CF=CE-CF=EF，
在Rt△OEF中，
∵∠E=30°，
∴EF=2OF，
∴BG-AH=2OF．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，在（1）中證得△OAH≌△OCF是解題的關(guān)鍵，在（2）中把BG-AH轉(zhuǎn)化成EF是解題的關(guān)鍵，注意直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用．