Question

8．如圖1，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點E與正方形ABCD的頂點A重合，三角板的一邊交CD于點F，另一邊交CB的延長線于點C．

（1）求證：EF=EG；
（2）如圖2，移動三角板，使頂點E始終在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變．
①（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
②若EC=2，試求四邊形EFCG的面積．

Answer 1

分析 （1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性質(zhì)，可利用ASA證得Rt△FED≌Rt△GEB，則問題得證；
（2）①首先過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、P，然后利用ASA證得Rt△FEP≌Rt△GEH，則問題得證；
②借助①的結(jié)論得出S_△FEP=S_△GEH，進而S_{四邊形EFCG}=S_{四邊形EPCG}=$\frac{1}{2}$EH²=2即可．

解答 （1）證明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，
∴∠DEF=∠GEB，
在△FED和△GEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEF=∠GEB}\\{ED=EB}\\{∠D=∠EBG}\end{array}\right.$，
∴△FED≌△GEB（ASA），
∴EF=EG；

（2）①解：成立．
證明：如圖2，過點E作EH⊥BC于H，過點E作EP⊥CD于P，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴CE平分∠BCD，
又∵EH⊥BC，EP⊥CD，
∴EH=EP，
∴四邊形EHCP是正方形，
∴∠HEP=90°，
∵∠GEH+∠HEF=90°，∠PEF+∠HEF=90°，
∴∠PEF=∠GEH，
∴在Rt△FEP與Rt△GEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PEF=∠GEH}\\{∠EPF=∠EHG}\\{EP=EH}\end{array}\right.$，
∴△FEP≌△GEH（AAS），
∴EF=EG；

②由①知，四邊形EHCP是正方形，
∵EC=2，
∴EH=$\sqrt{2}$
由①知，△FEP≌△GEH，
∴S_△FEP=S_△GEH，
∴S_{四邊形EFCG}=S_{四邊形EPCG}=$\frac{1}{2}$EH²=2

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是判斷出△FED≌△GEB，解（2）的關(guān)鍵是判斷出∠PEF=∠GEH，是一道中等難度的中考�？碱}．