Question

13．己知菱形ABCD的邊長是6，∠ADC=120°，點E在直線AD上，DE=3，連接BE與對角線AC相交于點M，則線段CM的長是4$\sqrt{3}$或$\frac{12\sqrt{3}}{5}$．

Answer 1

分析 分類討論：當點E在AD上，如圖1，連結BD交AC于O點，根據(jù)菱形的性質得∴AB=BC=AD=6，BC∥AD，AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC，易得△ABD為等邊三角形，則AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，所以AC=2AO=6$\sqrt{3}$，再利用BC∥AE得到△BCM∽△EAM，利用相似比可得$\frac{MC}{AM}$=$\frac{BC}{AE}$=2，然后根據(jù)比例得性質可計算出MC的長；當E點在AD的延長線上時，如圖2，則AE=AD+DE=9，同理可得△BCM∽△EAM，利用相似比得$\frac{MC}{AM}$=$\frac{BC}{AE}$=$\frac{2}{3}$，然后根據(jù)比例性質計算MC的長．

解答 解：當點E在AD上，如圖1，
連結BD交AC于O點，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC=AD=6，BC∥AD，AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC，
∵∠ADC=120°，
∴∠BAD=60°，
∴△ABD為等邊三角形，
∴AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，
∴AC=2AO=6$\sqrt{3}$，
而DE=3，
∴AE=3，
∵BC∥AE，
∴△BCM∽△EAM，
∴$\frac{MC}{AM}$=$\frac{BC}{AE}$=$\frac{6}{3}$=2，
∴$\frac{MC}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
∴MC=$\frac{2}{3}$×6$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$；
當E點在AD的延長線上時，如圖2，則AE=AD+DE=9，
∵BC∥AE，
∴△BCM∽△EAM，
∴$\frac{MC}{AM}$=$\frac{BC}{AE}$=$\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{MC}{AC}$=$\frac{2}{5}$，
∴MC=$\frac{2}{5}$×6$\sqrt{3}$=$\frac{12\sqrt{3}}{5}$，
綜上所述，CM的長為4$\sqrt{3}$或$\frac{12\sqrt{3}}{5}$．
故答案為4$\sqrt{3}$或$\frac{12\sqrt{3}}{5}$．

點評 本題考查了菱形性質：菱形具有平行四邊形的一切性質；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．也考查了相似三角形的判定與性質．