Question

14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A（2，0）和M（1，-1），過點(diǎn)M作直線l⊥x軸，直線l上有兩動點(diǎn)E和F（點(diǎn)F在點(diǎn)M的上方），且ME=MF．
（1）若點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，1）．求：
①直線AE的解析式；
②點(diǎn)F到直線AE的距離；
（2）若直線AE與直線OF的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，n），求n的值．

Answer 1

分析 （1）由M（1，-1），F(xiàn)的坐標(biāo)為（1，1），ME=MF，于是得到E（1，-3），設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，解方程組即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)F的坐標(biāo)為（1，1），直線OF過原點(diǎn)，于是求得直線OF的解析式為y=x，解$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=3x-6}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，求得P（3，3），過P作PG⊥l于G，于是求得PG=3-1=2，EF=1-（-3）=4，即可得到S_△EFP=$\frac{1}{2}$EF•PG=$\frac{1}{2}$×4×2=4，根據(jù)勾股定理求得PE=$\sqrt{（3-1）^{2}+（3+3）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，過F作FD⊥PE于D，根據(jù)S_△EFP=$\frac{1}{2}$PE•FD=4列方程即可得到結(jié)論；
（3）把點(diǎn)P代入y=x中即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）∵M(jìn)（1，-1），F(xiàn)的坐標(biāo)為（1，1），
∵M(jìn)E=MF，
∴E（1，-3），
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-6}\end{array}\right.$．
∴直線AE的解析式為y=3x-6；

（2）∵F的坐標(biāo)為（1，1），直線OF過原點(diǎn)，
∴直線OF的解析式為：y=x，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=3x-6}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴P（3，3），
過P作PG⊥l于G，
∴PG=3-1=2，
∵EF=1-（-3）=4，
∴S_△EFP=$\frac{1}{2}$EF•PG=$\frac{1}{2}$×4×2=4，
∴PE=$\sqrt{（3-1）^{2}+（3+3）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
過F作FD⊥PE于D，
∴S_△EFP=$\frac{1}{2}$PE•FD=4，
∴FD=$\frac{4}{\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，即點(diǎn)F到直線AE的距離為：$\frac{2\sqrt{10}}{5}$；

（3）∵點(diǎn)P在直線OF上，
∴n=4．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，勾股定理，求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，三角形的面積，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．