Question

7．如圖，C為圓周上一點(diǎn)，BD是☉O的切線，B為切點(diǎn)．

（1）在圖（1）中，AB是☉O的直徑，∠BAC=30°，則∠DBC的度數(shù)為30°．
（2）在圖（2）中，∠BA₁C=40°，求∠DBC的度數(shù)．
（3）在圖（3）中，∠BA₁C=α，求∠DBC的大�。�
（4）通過（1）、（2）、（3）的探究，你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是弦切角等于它夾的弧所對(duì)的圓周角
（5）如圖（4），AC是☉O的直徑，∠ACB=60°，連接AB，過A、B兩點(diǎn)分別作☉O的切線，兩切線交于點(diǎn)P．若已知☉O的半徑為1，則△PAB的周長(zhǎng)為3$\sqrt{3}$．
（6）如圖（5），C是⊙O的直徑AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CD切⊙O于D，∠ACD的平分線分別交AD、BD于E、F，試猜想∠DEF的度數(shù)并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由切線的性質(zhì)和圓周角定理以及角的互余關(guān)系得出∠DBC=∠A=30°即可；
（2）連接AC，由（1）得出∠DBC=∠A，由圓周角定理得出∠A=∠A₁，即可得出∠DBC=∠BA₁C=40°；
（3）由（2）得出∠DBC=∠BA₂C=α即可；
（4）∠DBC等于$\widehat{BC}$所對(duì)的圓周角，得出弦切角定理；
（5）先在RtABC求出BC，再判斷出三角形PAB是等邊三角形即可求出結(jié)論；
（6）先判斷出∠CAD=$\frac{1}{2}$∠COD，∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACD，再利用切線得出∠COD+∠ACD=90°，最后用三角形的外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

解答 解：（1）
∵BD是⊙0的切線，
∴∠ABO=90°，
即∠ABC+∠DBC=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°
∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠DBC=∠A=30°；
故答案為：30°，
（2）連接BO交⊙O于A，連接AC，如圖所示：

由（1）得：∠DBC=∠A，
又∵∠A=∠A₁，
∴∠DBC=∠BA₁C=40°；
（3）由（2）得：∠DBC=∠BA₂C=α；
（4）∠DBC等于$\widehat{BC}$所對(duì)的圓周角；
弦切角等于它夾的弧所對(duì)的圓周角，
故答案為：弦切角等于它夾的弧所對(duì)的圓周角；
（5）連接如圖OB，

在Rt△ABC中，AC=2OA=2，∠ACB=60°，
∴AB=$\sqrt{3}$，∠AOB=120°
∵PA，PB分別與⊙O相切，
∴∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB
∴∠APB=60°，
∴△PAB是等邊三角形，
∴PA=PB=AB=$\sqrt{3}$，
∴△PAB的周長(zhǎng)為3$\sqrt{3}$，
故答案為3$\sqrt{3}$；
（6）如圖5，

連接OD，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠COD，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠ODC=90°，
∴∠ACD+∠COD=90°，
∵CE是∠ACD的角平分線，
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACD
∴∠DEF=∠DAC+∠ACE=$\frac{1}{2}$∠COD+$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$（∠COD+∠ACD）=45°．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，圓周角的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是弦切角等于它夾的弧所對(duì)的圓周角的得出．