Question

15．已知關(guān)于x的一元二次方程$\frac{1}{4}$x²+mx-（k+1）m-k²-$\frac{3}{4}$k+$\frac{1}{4}$=0有有理根，求k的值．

Answer 1

分析 若關(guān)于x的一元二次方程mx²-（2m-1）x+m-2=0有理根，則△≥0，并且△為完全平方式，而△=m²-4×$\frac{1}{4}$[-（k+1）m-k²-$\frac{3}{4}$k+$\frac{1}{4}$]是完全平方式，得到關(guān)于k的方程，解出即可．

解答 解：∵關(guān)于x的一元二次方程$\frac{1}{4}$x²+mx-（k+1）m-k²-$\frac{3}{4}$k+$\frac{1}{4}$=0有有理根，
∴△=m²-4×$\frac{1}{4}$[-（k+1）m-k²-$\frac{3}{4}$k+$\frac{1}{4}$）]=m²+（k+1）m+k²+$\frac{3}{4}$k-$\frac{1}{4}$，
∴m²+（k+1）m+k²+$\frac{3}{4}$k-$\frac{1}{4}$是完全平方式，
∴k²+$\frac{3}{4}$k-$\frac{1}{4}$=（$\frac{k+1}{2}$）²，
解得：k=$\frac{2}{3}$，或k=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根為有理根的條件判別式為完全平方數(shù)．