Question

9．如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=$2\sqrt{3}$，點O是AB的中點，點P在AB的延長線上，且BP=3．一動點E從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運動，到達A點后，立即以原速度沿AO返回；另一動點F從P點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線PA勻速運動，點E、F同時出發(fā)，當兩點相遇時停止運動，在點E、F的運動過程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線PA的同側．設運動的時間為t秒（t≥0）．
（1）當?shù)冗叀鱁FG的邊FG恰好經(jīng)過點C時，求運動時間t的值；
（2）在整個運動過程中，設等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關系式和相應的自變量t的取值范圍；
（3）設EG與矩形ABCD的對角線AC的交點為H，是否存在這樣的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出對應的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當邊FG恰好經(jīng)過點C時，由∠CFB=60°得BF=3-t，在Rt△CBF中，根據(jù)三角函數(shù)求得t的值；
（2）根據(jù)運動的時間為t不同的取值范圍，求等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S的值，當0≤t＜1時，重疊部分是直角梯形，面積S等于梯形的面積，
當1≤t＜3時，重疊部分是S_梯形MKFE-S_△QBF，當3≤t＜4時，重疊部分是S_梯形MKFE，當4≤t＜6時，重疊部分是正三角形的面積；
（3）當AH=AO=3時，AM=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{3}{2}$，在R_t△AME中，由cos∠MAE=$\frac{AM}{AE}$即cos30°=$\frac{\frac{3}{2}}{AE}$，得AE=$\sqrt{3}$，即3-t=$\sqrt{3}$或t-3=$\sqrt{3}$，求出t=3-$\sqrt{3}$或t=3+$\sqrt{3}$；
當AH=HO時，∠HOA=∠HAO=30°，又因為∠HEO=60°得到∠EHO=90°EO=2HE=2AE，再由AE+2AE=3，求出AE=1，即3-t=1或t-3=1，求出t=2或t=4；
當OH=OA=時∠HOB=∠OAH=30°，所以∠HOB=60°=∠HEB，得到點E和點O重合，從而求出t的值

解答 解：如圖1（1），當邊FG恰好經(jīng)過點C時，
∵∠CFB=60°，
∴BF=3-t，
在Rt△CBF中，
∵BC=2$\sqrt{3}$，tan∠CFB=$\frac{BC}{BF}$，
∴tan60=$\frac{2\sqrt{3}}{BF}$，
解得BF=2，即3-t=2，
∴t=1，
當邊FG恰好經(jīng)過點C時，t=1；

（2）如圖2，過點M作MN⊥AB于N，
當0≤t＜1時，
∵tan60°=$\frac{MN}{EN}$=$\frac{2\sqrt{7}}{EN}$=$\sqrt{3}$，
∴EN=2，
∵EB=3+t，NB=3+t-2=1+t，
∴MC=1+t，
∴S=$\frac{1}{2}$（MC+EB）•BC=2$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$；
如圖3，當1≤t＜3時，
∵MN=2$\sqrt{3}$  EF=OP=6，
GH=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴$\frac{MK}{EF}$=$\frac{GH-MN}{GH}$，
∴MK=2，
∵EB=3+t，BF=3-t，BQ=$\sqrt{3}$t-$\sqrt{3}$，
∴S=S_梯形MKFE-S_△QBF=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+3$\sqrt{3}$t+$\frac{7\sqrt{3}}{2}$；
如圖4，當3≤t＜4時，
∵MN=2$\sqrt{3}$，EF=6-2（t-3）=12-2t，
∴GH=（12-2t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，∴$\frac{MK}{EF}$=$\frac{GH-MN}{GH}$，
∴MK=8-2t，
∴S=-4$\sqrt{3}$t+20$\sqrt{3}$；
當4≤t＜6時，
∵EF=12-2t，
∴高為：EFsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EF，
∴S=$\sqrt{3}$t²-12$\sqrt{3}$t+36$\sqrt{3}$；

（3）存在．
在R_t△ABC中，tan$∠CAB=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴∠CAB=30°
∵$∠HEO\$=60°，
∴∠HAE=∠AHE 30°，
∴AE=HE=3-t或t-3，
如圖5，當AH=AO=3時，
過點E作EM⊥AH與M，
則AM=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{3}{2}$，
在R_t△AME中，
cos∠MAE=$\frac{AM}{AE}$即cos30°=$\frac{\frac{3}{2}}{AE}$，
∴AE=$\sqrt{3}$，
即3-t=$\sqrt{3}$或t-3=$\sqrt{3}$；
∴t=3-$\sqrt{3}$或t=3+$\sqrt{3}$；
如圖6，當AH=HO時，∠HOA=∠HAO=30°，
∵∠HEO=60°，
∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，
∵AE+2AE=3，
∴AE=1，即3-t=1或t-3=1，
∴t=2或t=4；
如圖7，當OH=OA=時，
∠HOB=∠OAH=30°，
∴∠HOB=60°=∠HEB，
∴點E和點O重合，
∴AE=AO=3，
當E剛開始時，3-t=3，
當E返回時t-3=3，
∴t=0，t=6（舍去），
綜上所述當t=3-$\sqrt{3}$，t=3+$\sqrt{3}$，t=2，t=4，t=0時，△AOH是等腰三角形．

點評 此題主要考查了 平行四邊形的性質、平行四邊形的判定、矩形、矩形的性質、矩形的判定、菱形、菱形的性質、菱形的判定 等知識點