Question

14．如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其 中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．
（1）當(dāng)t=2秒時，求PQ的長；
（2）求出發(fā)時間為幾秒時，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向運動，則當(dāng)點Q在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點P、Q的運動速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）由題意得出BQ=BP，即2t=8-t，解方程即可；
（3）當(dāng)點Q在邊CA上運動時，能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間有三種情況：
①當(dāng)CQ=BQ時（圖1），則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；
②當(dāng)CQ=BC時（圖2），則BC+CQ=12，易求得t；
③當(dāng)BC=BQ時（圖3），過B點作BE⊥AC于點E，則求出BE，CE，即可得出t．

解答 （1）解：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB-AP=8-2×1=6cm，
∵∠B=90°，
PQ=$\sqrt{B{Q}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$（cm）；
（2）解：根據(jù)題意得：BQ=BP，
即2t=8-t，
解得：t=$\frac{8}{3}$；
即出發(fā)時間為$\frac{8}{3}$秒時，△PQB是等腰三角形；
（3）解：分三種情況：
①當(dāng)CQ=BQ時，如圖1所示：
則∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．
②當(dāng)CQ=BC時，如圖2所示：
則BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．
③當(dāng)BC=BQ時，如圖3所示：
過B點作BE⊥AC于點E，
則BE=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{6×8}{10}$=4.8（cm）
∴CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=3.6cm，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時，
△BCQ為等腰三角形．

點評 本題考查了勾股定理、三角形的面積以及等腰三角形的判定和性質(zhì)；本題有一定難度，注意分類討論思想的應(yīng)用．