Question

18．如圖，點A₁（1，$\sqrt{3}}$）在直線l₁：y=$\sqrt{3}$x上，過點A₁作A₁B₁⊥l₁交直線l₂：y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x于點B₁，以A₁B₁為邊在△OA₁B₁外側(cè)作等邊三角形A₁B₁C₁，再過點C₁作A₂B₂⊥l₁，分別交直線l₁和l₂于A₂，B₂兩點，以A₂B₂為邊在△OA₂B₂外側(cè)作等邊三角形A₂B₂C₂，…按此規(guī)律進行下去，則第n個等邊三角形A_nB_nC_n的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$$（\frac{3}{2}）^{2n-3}$．（用含n的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 由點A₁的坐標(biāo)可得出OA₁=2，根據(jù)直線l₁、l₂的解析式結(jié)合解直角三角形可求出A₁B₁的長度，由等邊三角形的性質(zhì)可得出A₁A₂的長度，進而得出OA₂=3，通過解直角三角形可得出A₂B₂的長度，同理可求出A_nB_n的長度，再根據(jù)等邊三角形的面積公式即可求出第n個等邊三角形A_nB_nC_n的面積．

解答 解：∵點A₁（1，$\sqrt{3}}$），
∴OA₁=2．
∵直線l₁：y=$\sqrt{3}$x，直線l₂：y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x，
∴∠A₁OB₁=30°．
在Rt△OA₁B₁中，OA₁=2，∠A₁OB₁=30°，∠OA₁B₁=90°，
∴A₁B₁=$\frac{1}{2}$OB₁，
∴A₁B₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∵△A₁B₁C₁為等邊三角形，
∴A₁A₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$A₁B₁=1，
∴OA₂=3，A₂B₂=$\sqrt{3}$．
同理，可得出：A₃B₃=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，A₄B₄=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，…，A_nB_n=$（\frac{3}{2}）^{n-2}$$\sqrt{3}$，
∴第n個等邊三角形A_nB_nC_n的面積為$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$A_nB_n²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$（\frac{3}{2}）^{2n-3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$$（\frac{3}{2}）^{2n-3}$．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、解直角三角形以及等邊三角形的性質(zhì)，通過解直角三角形及等邊三角形的性質(zhì)，找出A_nB_n=$（\frac{3}{2}）^{n-2}$$\sqrt{3}$是解題的關(guān)鍵．