Question

8．如圖，以△ABC的三邊為邊在BC的同一側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，且∠BAC≠60°．
（1）求證：AE與DF互相平分；
（2）當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)AE=DF；
（3）為什么題中有條件∠BAC≠60°．

Answer 1

分析 （1）四邊形ADEF是平行四邊形，可先證明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可證四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）如四邊形ADEF是矩形，則∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形；
（3）當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，四邊形ADEF不存在．

解答 （1）證明：∵△ABD，△BCE都是等邊三角形，
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE．
在△ABC與△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠DBE=∠ABC}\\{BC=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DBE（SAS）．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得EF=AD．
∴四邊形ADEF是平行四邊形，
∴AE與DF互相平分；

（2）解：當(dāng)∠BAC=150°時(shí)，AE=DF，
理由是：∵△ABD和△ACF是等邊三角形，
∴∠DAB=∠FAC=60°，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAF=360°-60°-60°-150°=90°，
∴四邊形ADEF是矩形，
∴AE=DF，
∴∠BAC=150°時(shí)，AE=DF；

（3）當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，四邊形ADEF中的A點(diǎn)與E點(diǎn)重合，
此時(shí)以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)全等三角形的判定及三角形內(nèi)角和為180°、平行四邊形和矩形的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)的定理是解題關(guān)鍵．