Question

10．已知：如圖，直線y=$\frac{1}{2}$x+b與x軸負半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，線段OA的長是方程x²-7x-8=0的一個根，請解答下列問題：
（1）求點B坐標；
（2）雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）與直線AB交于點C，且AC=5$\sqrt{5}$，求k的值；
（3）在（2）的條件下，點E在線段AB上，AE=$\sqrt{5}$，直線l⊥y軸，垂足為點P（0，7），點M在直線l上，坐標平面內(nèi)是否存在點N，使以C、E、M、N為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程x²-7x-8=0得：x=8，或x=-1，得出OA=8，A（-8，0），代入y=$\frac{1}{2}$x+b求出b=4，即可得出B（0，4）；
（2）在Rt△AOB中，由勾股定理求出AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，過點C作CH⊥x軸于H，則CH∥OB，由平行線得出△AOB∽△AHC，得出$\frac{OB}{CH}=\frac{AB}{AC}=\frac{OA}{AH}$，求出CH=5，AH=10，得出OH=2，C（2，5），代入雙曲線切線k=10即可；
（3）分兩種情況：①當CE為以C、E、M、N為頂點的矩形的一邊時，由矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)得出點N的坐標為（-1，11）或（-7，3）；
②當CE為以C、E、M、N為頂點的矩形的對角線時，由矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)得出點N的坐標為（-4，-1）或（0，-1）．

解答 解：（1）解方程x²-7x-8=0得：x=8，或x=-1，
∵線段OA的長是方程x²-7x-8=0的一個根，
∴OA=8，∴A（-8，0），
代入y=$\frac{1}{2}$x+b得：-4+b=0，
∴b=4
∴B（0，4）；
（2）在Rt△AOB中，OA=8，OB=4，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
過點C作CH⊥x軸于H，如圖1所示：
則CH∥OB，
∴△AOB∽△AHC，
∴$\frac{OB}{CH}=\frac{AB}{AC}=\frac{OA}{AH}$，
即$\frac{4}{CH}=\frac{4\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}=\frac{8}{AH}$，
解得：CH=5，AH=10，
∴OH=10-8=2，
∴C（2，5），
∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）經(jīng)過點C，
∴k=2×5=10；
（3）存在，理由如下：
分兩種情況：
①當CE為以C、E、M、N為頂點的矩形的一邊時，過E作EG⊥x軸于G，作EM⊥AC交直線l于M，如圖2所示：
則EG∥OB，
∴△AGE∽△AOB，
∴$\frac{EG}{OB}=\frac{AG}{AO}=\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$=$\frac{1}{4}$，
∴EG=$\frac{1}{4}$OB=1，AG=$\frac{1}{4}$AO=2，
∴OG=8-2=6，
∴E（-6，1），
∵EM⊥AC，
∴設直線EM的解析式為y=-2x+c，
把點E（-6，1）代入得：12+c=1，
解得：c=-11，
∴直線EM的解析式為y=-2x-11，
當y=7時，7=-2x-11，
∴x=-9，
∴M（-9，7），
∵C（2，5），
∴點N的坐標為（-1，11）；
當CE為以C、E、M、N為頂點的矩形的一邊時，同理得出滿足條件的另一點N的坐標為（-7，3）；
②當CE為以C、E、M、N為頂點的矩形的對角線時，作EG⊥l于G，CH⊥l于H，如圖3所示：
則∠EGM=∠MHC=90°，EG=7-1=6，CH=7-5=2，
∵四邊形EMCN是矩形，
∴∠EMC=90°，
由角的互余關系得：∠GEM=∠HMC，
∴△EGM∽△MHC，
∴$\frac{GM}{CH}=\frac{EG}{MH}$，
∴GM•MH=CH•EG=2×6=12，
又∵GM+MH=6+2=8，
∴GM=2，MH=6，
∴M的坐標為（-4，7），
∵E（-6，1），C（2，5），
∴N（0，-1）；
當CE為以C、E、M、N為頂點的矩形的對角線時，同理得出滿足條件的另一點N的坐標為（-4，1）；
綜上所述：存在以C、E、M、N為頂點的四邊形是矩形，點N的坐標為（-1，11）或（-7，3）或（-4，-1）或（0，-1）．

點評 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了反比例函數(shù)解析式的求法、坐標與圖形性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，本題綜合性強，有一定難度．