Question

5．如圖，以△ABC的邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH⊥BC，垂足為點H，交EG于點M．求證：EM=MG．

Answer 1

分析 利用“角角邊”證明△ABH和△EAP全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得EP=AH，同理可證GQ=AH，從而得到EP=GQ，再利用“角角邊”證明△EPM和△GQM全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得EM=MG．

解答 解：過點E作EP⊥HA的延長線于P，過點G作GQ⊥AM于Q，如圖所示：
∵四邊形ABDE是正方形，
∴AB=AE，∠BAE=90°，
∴∠EAP+∠BAH=180°-90°=90°，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∴∠ABH=∠EAP，
在△ABH和△EAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABH=∠EAP}&{\;}\\{∠AHB=∠P=90°}&{\;}\\{AB=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△EAP（AAS），
∴EP=AH，
同理可得：GQ=AH，
∴EP=GQ，
在△EPM和△GQM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠P=∠MQG}&{\;}\\{∠EMP=∠GMQ}&{\;}\\{EP=GQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EPM≌△GQM（AAS），
∴EM=MG．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)的運用；通過作輔助線EP⊥HA的延長線于P，過點G作GQ⊥AM于Q構造出全等三角形是難點，運用全等三角形的性質(zhì)是關鍵．