Question

11．如圖，拋物線y=x²-（m+2）x+3（m-1）與x軸的兩個交點為A、B，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，直線y=-2x+m+6經(jīng)過點B，交y軸于點E（0，6）．
（1）求直線和拋物線的解析式；
（2）如果拋物線的對稱軸與線段BC交于點H，且直線y=x與直線y=-2x+m+6交于點G，求證：四邊形OHBG是平行四邊形；
（3）在拋物線上是否存在點P，使△APB的面積等于平行四邊形OHBG的面積，若存在，直接寫出P點的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）根據(jù)直線一次項的系數(shù)相等，可得平行線，根據(jù)平行四邊線的定義，可得答案；
（3）根據(jù)面積相等，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得點的坐標．

解答 解：（1）將E點坐標代入直線y=-2x+m+6，得
m+6=6，
解得m=0，
直線的解析式為y=-2x+6，
拋物線的解析式為y=x²-2x-3；
（2）∵y=x²-2x-3=（x+1）（x-3）=（x-1）²-4，
∴B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），對稱軸是x=1，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3，
3k-3=0，解得k=1，
BC的解析式為y=x-3；
∴BC∥OG．點H的坐標為（1，-2）．
設(shè)OH的解析式為y=ax，則a=-2，
直線OH的解析式為y=-2x，
∴OH∥BG，
∴四邊形OHBG是平行四邊形；
（3）存在點P，使△APB的面積等于平行四邊形OHBG的面積，
∵OB=3，△OBH的OB邊上的高是2，平行四邊形的面積是△OBH的二倍，
∴平行四邊形的面積=2××$\frac{1}{2}$×3×2=6，
設(shè)P點的坐標為（x，x²-2x-3），
∵AB=3-（-1）=4，△APB的面積等于平行四邊形OHBG的面積，
∴$\frac{1}{2}$×4×|x²2x-3|=6，
解得x=0或x=2，或x=1+$\sqrt{7}$，或x=1-$\sqrt{7}$，
x=0時，y=x²-2x-3=-3，即（0，-3），
x=2時，y=x²-2x-3=-3，即（2，-3），
x=1-$\sqrt{7}$時，y=x²-2x-3=3，即（1-$\sqrt{7}$，3），
x=1+$\sqrt{7}$時，y=x²-2x-3=3，即（1+$\sqrt{7}$，3），
∴P點坐標為（0，-3），（2，-3），（1-$\sqrt{7}$，3）（1+$\sqrt{7}$，3）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法，解（2）的關(guān)鍵是利用直線一次項的系數(shù)相等得出平行線，又利用了平行四邊形的定義；解（3）的關(guān)鍵是利用面積相等得出關(guān)于x的方程．