Question

5．如圖①，AE是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的點(diǎn)，連結(jié)AC并延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，使CD=CA，連結(jié)ED交⊙O于點(diǎn)B．
（1）求證：點(diǎn)C是劣弧$\widehat{AB}$的中點(diǎn)；
（2）如圖②，連結(jié)EC，若AE=2AC=4，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接CE，由AE是⊙O的直徑，得到CE⊥AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AEC=∠DEC，于是得到結(jié)論；
（2）連接BC，OB，OC，由已知條件得到△AED是等邊三角形，得到∠A=60°，推出AE∥BC，∠BOC=60°，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接CE，
∵AE是⊙O的直徑，
∴CE⊥AD，
∵AC=CD，
∴AE=ED，
∴∠AEC=∠DEC，
∴$\widehat{BC}=\widehat{AC}$；
∴點(diǎn)C是劣弧$\widehat{AB}$的中點(diǎn)；
（2）連接BC，OB，OC，
∵AE=2AC=4，
∴∠AEC=30°，AE=AD，
∴∠AED=60°，
∴△AED是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{AC}$，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{AC}$，
∴AE∥BC，∠BOC=60°，
∴S_△OBC=S_△EBC，
∴S_陰影=S_扇形=$\frac{60•π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{2}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，平行線的判定，扇形的面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．