Question

14．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖，且關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c-m=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，有下列結(jié)論：①b²-4ac＞0；②abc＜0；③a-b＞0；④m＞2，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)①進(jìn)行判斷；由拋物線開(kāi)口方向得a＜0，由拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)得b＞0，由拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方得c＞0，則可對(duì)②③進(jìn)行判斷；由ax²+bx+c-m=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根得到拋物線y=ax²+bx+c與直線y=m沒(méi)有公共點(diǎn)，加上二次函數(shù)的最大值為2，則m＞2，于是可對(duì)④進(jìn)行判斷．

解答 解：∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，
∴b²-4ac＞0，所以①正確；
∵拋物線開(kāi)口向下，
∴a＜0，
∵拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②正確；
∴a-b＜0，所以③錯(cuò)誤；
∵ax²+bx+c-m=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
即拋物線y=ax²+bx+c與直線y=m沒(méi)有公共點(diǎn)，
而二次函數(shù)的最大值為2，
∴m＞2，所以④正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大�。寒�(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；拋物線向下開(kāi)口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．